Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência
abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, indicar qual critério foi usado e, quando possível, calcular o limite. As informações dadas são: a fórmula geral da sequência é
e a variável de índice
tende a
. Não há outras condições escondidas —
é inteiro e positivo.
Passo 2
Idéia central (o que vamos usar): quando
temos
. Portanto faz sentido estudar o comportamento de
quando
. Um fato fundamental que vou usar é o limite
Vou provar esse limite passo a passo porque ele é a chave para resolver a sequência.
Passo 3
Prova do limite
(passo a passo didático).
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
Aqui cada símbolo significa:
e
são as funções trigonométricas seno e cosseno;
. Para obter o limite, vou analisar cada fator separadamente.
Passo 4
Análise do fator
.
Para com
vale a desigualdade clássica (geometria do círculo unitário):
Para
Explicação curta dessa desigualdade: em um círculo unitário, a área do setor, do triângulo e de outro triângulo levam a
; dividindo por
e reorganizando obtém-se a forma acima. Como
quando
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos
Passo 5
Análise do fator
.
Sabemos que é contínua e
. Logo
Sabemos que
Aqui usei a propriedade de que limite do inverso é o inverso do limite quando o limite não é zero.
Passo 6
Combinação dos fatores.
Multiplicando as duas conclusões dos passos anteriores, pela propriedade do limite de produtos:
Multiplicando as duas conclusões dos passos anteriores, pela propriedade do limite de produtos:
Portanto o limite fundamental está provado:
.
Passo 7
Aplicação à sequência
.
Defina . Então
quando
. Escrevemos
em termos de
:
Defina
Como
e já sabemos que
quando
, aplicamos o teorema de limites para sequências (ou a continuidade do mapa
no ponto
em sentido limite) e obtemos
Passo 8
Conclusão sobre convergência e critério usado.
Da igualdade acima segue que a sequência converge. Os critérios usados foram: (i) a propriedade fundamental
(provada via
e
), e (ii) a passagem de limite de funções para limites de sequências por substituição
. Se quiser um pouco mais de intuição, por aproximação de ângulo pequeno temos
quando
é pequeno, então
.
Da igualdade acima segue que a sequência
Resposta
Converge.
Critério usado: redução para o limite fundamental (obtido por
e
).
Limite: .
Critério usado: redução para o limite fundamental
Limite: