Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência \left(a_{n}\right) abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência a_{n}=n\tan\frac{1}{n} converge ou diverge, indicar qual critério foi usado e, quando possível, calcular o limite. As informações dadas são: a fórmula geral da sequência é a_{n}=n\tan\frac{1}{n} e a variável de índice n tende a +\infty. Não há outras condições escondidas — n é inteiro e positivo.

Passo 2

Idéia central (o que vamos usar): quando n\to+\infty temos \dfrac{1}{n}\to 0^+. Portanto faz sentido estudar o comportamento de \tan x quando x\to 0. Um fato fundamental que vou usar é o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.
Vou provar esse limite passo a passo porque ele é a chave para resolver a sequência.

Passo 3

Prova do limite \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 (passo a passo didático).
Primeiro escrevemos
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Aqui cada símbolo significa: \sin x e \cos x são as funções trigonométricas seno e cosseno; \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Para obter o limite, vou analisar cada fator separadamente.

Passo 4

Análise do fator \displaystyle\frac{\sin x}{x}.
Para x com 0<x<\frac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica (geometria do círculo unitário):
\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.
Explicação curta dessa desigualdade: em um círculo unitário, a área do setor, do triângulo e de outro triângulo levam a \sin x < x < \tan x; dividindo por \sin x e reorganizando obtém-se a forma acima. Como \cos x\to 1 quando x\to 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Análise do fator \dfrac{1}{\cos x}.
Sabemos que \cos x é contínua e \cos 0=1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}\cos x}=\frac{1}{1}=1.
Aqui usei a propriedade de que limite do inverso é o inverso do limite quando o limite não é zero.

Passo 6

Combinação dos fatores.
Multiplicando as duas conclusões dos passos anteriores, pela propriedade do limite de produtos:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\right)=1\cdot 1=1.
Portanto o limite fundamental está provado: \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1.

Passo 7

Aplicação à sequência a_{n}.
Defina x_{n}=\dfrac{1}{n}. Então x_{n}\to 0^+ quando n\to+\infty. Escrevemos a_{n} em termos de x_{n}:
a_{n}=n\tan\frac{1}{n}=\frac{\tan x_{n}}{x_{n}}.
Como x_{n}\to 0 e já sabemos que \dfrac{\tan x}{x}\to 1 quando x\to 0, aplicamos o teorema de limites para sequências (ou a continuidade do mapa x\mapsto \dfrac{\tan x}{x} no ponto 0 em sentido limite) e obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\tan x_{n}}{x_{n}}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 8

Conclusão sobre convergência e critério usado.
Da igualdade acima segue que a sequência \left(a_{n}\right) converge. Os critérios usados foram: (i) a propriedade fundamental \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 (provada via \sin x/x e \cos x), e (ii) a passagem de limite de funções para limites de sequências por substituição x=\dfrac{1}{n}. Se quiser um pouco mais de intuição, por aproximação de ângulo pequeno temos \tan x\approx x quando x é pequeno, então n\tan(1/n)\approx n(1/n)=1.

Resposta

Converge.
Critério usado: redução para o limite fundamental \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 (obtido por \sin x/x\to 1 e \cos x\to 1).
Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty}n\tan\frac{1}{n}=1.

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