Use a Regra da Cadeia para achar \partial z / \partial s e \partial z / \partial t.
z=e^{x+2 y}, \quad x=s / t, \quad y=t / s

Passo 1

O enunciado dá as seguintes fórmulas e pede duas derivadas parciais:
z = e^{x+2y}, \quad x=\frac{s}{t}, \quad y=\frac{t}{s}.
As perguntas que precisamos responder são:
\frac{\partial z}{\partial s}\quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial t}.
Informações relevantes dadas: as expressões de z em função de x,y e as expressões de x e y em função de s,t. Nada mais será pedido além de calcular essas duas parciais.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A ideia é: quando z depende de x e y, e x,y dependem de s,t, a variação de z em relação a s tem contribuições via x e via y. Formalmente:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando cada termo: \partial z/\partial x e \partial z/\partial y são as derivadas de z tratadas como função de x,y (mantendo a outra variável fixa); \partial x/\partial s etc. são as derivadas de x e y em relação a s,t.

Passo 3

Calculemos primeiro \partial z/\partial x e \partial z/\partial y. Como z=e^{x+2y}, a derivada de uma exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do expoente. O expoente é x+2y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}\cdot 1 = e^{x+2y}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+2y}\cdot 2 = 2e^{x+2y}.
Aqui expliquei que o “1” vem da derivada de x e o “2” vem da derivada de 2y.

Passo 4

Agora vamos derivar x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} em relação a s e t. É prático reescrever usando potência:
x = s\,t^{-1},\qquad y = t\,s^{-1}.
Derivadas parciais de x:
Derivando x em relação a s (tratando t como constante):
\frac{\partial x}{\partial s} = t^{-1} = \frac{1}{t}.
Derivando x em relação a t (tratando s como constante), usando a regra do produto/potência:
\frac{\partial x}{\partial t} = s\cdot(-1)t^{-2} = -\frac{s}{t^{2}}.
Derivadas parciais de y:
Derivando y em relação a s (tratando t como constante):
\frac{\partial y}{\partial s} = t\cdot(-1)s^{-2} = -\frac{t}{s^{2}}.
Derivando y em relação a t (tratando s como constante):
\frac{\partial y}{\partial t} = s^{-1} = \frac{1}{s}.
Se quiser, pense em x=s/t e aplique a regra do quociente para verificar os mesmos resultados.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para \partial z/\partial s. Substituímos os termos que já calculamos:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \partial z/\partial x = e^{x+2y}, \partial z/\partial y = 2e^{x+2y}, \partial x/\partial s = 1/t e \partial y/\partial s = -t/s^{2}:
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t} + 2e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{t}{s^{2}}\right).
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x+2y}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}}\right).
Podemos ainda substituir x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} no expoente para deixar tudo em termos de s,t:
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}}\right).

Passo 6

Agora a mesma coisa para \partial z/\partial t. Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo \partial z/\partial x = e^{x+2y}, \partial z/\partial y = 2e^{x+2y}, \partial x/\partial t = -s/t^{2} e \partial y/\partial t = 1/s:
\frac{\partial z}{\partial t} = e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}}\right) + 2e^{x+2y}\left(\frac{1}{s}\right).
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial t} = e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}} + \frac{2}{s}\right).
Substituindo x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} no expoente:
\frac{\partial z}{\partial t} = e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}} + \frac{2}{s}\right).

Passo 7

Pequena verificação mental (útil na prova): ambas as expressões têm o fator comum e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}. As outras partes são combinações racionais em s,t vindas das derivadas de x e y. Se s e t forem não nulos, as fórmulas estão bem definidas. Respira, fez certo — ótimo trabalho!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right)

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