Use a Regra da Cadeia para achar
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes fórmulas e pede duas derivadas parciais:
As perguntas que precisamos responder são:
Informações relevantes dadas: as expressões de
em função de
e as expressões de
e
em função de
. Nada mais será pedido além de calcular essas duas parciais.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A ideia é: quando
depende de
e
, e
dependem de
, a variação de
em relação a
tem contribuições via
e via
. Formalmente:
Explicando cada termo:
e
são as derivadas de
tratadas como função de
(mantendo a outra variável fixa);
etc. são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculemos primeiro
e
. Como
, a derivada de uma exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do expoente. O expoente é
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui expliquei que o “1” vem da derivada de
e o “2” vem da derivada de
.
Passo 4
Agora vamos derivar
e
em relação a
e
. É prático reescrever usando potência:
Derivadas parciais de
:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
Derivando
em relação a
(tratando
como constante), usando a regra do produto/potência:
Derivadas parciais de
:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Se quiser, pense em
e aplique a regra do quociente para verificar os mesmos resultados.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Substituímos os termos que já calculamos:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
:
Podemos ainda substituir
e
no expoente para deixar tudo em termos de
:
Passo 6
Agora a mesma coisa para
. Usando a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
:
Substituindo
e
no expoente:
Passo 7
Pequena verificação mental (útil na prova): ambas as expressões têm o fator comum
. As outras partes são combinações racionais em
vindas das derivadas de
e
. Se
e
forem não nulos, as fórmulas estão bem definidas. Respira, fez certo — ótimo trabalho!