Problema: Modelagem da Concentração de Poluentes em um Rio

Contexto

Um engenheiro ambiental está modelando a concentração de um poluente em um rio após um vazamento acidental. O poluente é degradado naturalmente por processos biológicos (degradação microbiana) a uma taxa proporcional à sua concentração atual.

Situação

Imediatamente após o vazamento, a concentração do poluente no rio é de C_{0}=100 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. A taxa de degradação do poluente é proporcional à sua concentração, com constante de degradação k=0,1 \mathrm{~h}^{-1}. Além disso, devido à vazão do rio e a processos de diluição, há uma entrada constante de água limpa que reduz a concentração a uma taxa constante de r=2 \mathrm{mg} / \mathrm{L} / \mathrm{h}.

Equação Diferencial

A variação da concentração C(t) (em \mathrm{mg} / \mathrm{L} ) em função do tempo t (em horas) é modelada por:
\frac{d C}{d t}=-k C-r

Substituindo os valores:

\frac{d C}{d t}=-0,1 C-2

Tarefa

Resolva a EDO separável e determine:
(a) A função concentração C(t)
(b) A concentração após 5 horas
(c) O tempo necessário para que a concentração caia para 10 \mathrm{mg} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Condição inicial: C(0)=C_{0}=100 mg/L.
  • Constante de degradação: k=0,1 h ^{-1}.
  • Taxa de redução constante (diluição): r=2 mg/L/h.
  • Equação diferencial: \dfrac{dC}{dt}=-kC-r. Substituindo os valores:
\frac{dC}{dt}=-0,1\,C-2.
Perguntas:
(a) Determinar a função concentração C(t).
(b) Calcular a concentração após 5 horas, isto é C(5).
(c) Determinar o tempo t tal que C(t)=10 mg/L.

Passo 2

Vamos transformar a equação para que fique separável. Observe que a direita é -0,1C-2. Podemos fatorar -0,1 assim:
-0,1C-2=-0,1\bigl(C+\frac{2}{0,1}\bigr).
Calcule \dfrac{2}{0,1}:
\frac{2}{0,1}=20.
Logo a EDO fica
\frac{dC}{dt}=-0,1\bigl(C+20\bigr).
Agora está numa forma em que podemos separar variáveis: termos com C de um lado e t do outro.
Breve explicação didática: separar variáveis significa escrever a equação como uma função de C multiplicando dC igual a uma função de t multiplicando dt. Aqui isso é possível após a fatoração porque o lado direito depende de C multiplicado por uma constante.

Passo 3

Separe as variáveis e integre:
\frac{dC}{C+20}=-0,1\,dt.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{dC}{C+20}=\int -0,1\,dt.
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão do tipo \int \frac{du}{u}=\ln|u|. Portanto:
\ln|C+20|=-0,1t + K,
onde K é a constante de integração.

Passo 4

Elimine o logaritmo exponenciando ambos os lados:
|C+20|=e^{K}e^{-0,1t}.
Denote A=e^{K}>0. Assim
C+20 = \pm A e^{-0,1t}.
Para decidir o sinal e encontrar A, use a condição inicial C(0)=100. No instante t=0:
100+20 = \pm A \cdot e^{0}\quad\Rightarrow\quad 120=\pm A.
Como A>0, temos A=120 e o sinal é positivo. Logo
C+20=120\,e^{-0,1t}.
Isolando C,
\boxed{C(t)=120\,e^{-0,1t}-20.}
Isso responde a pergunta (a). Pequena observação física: matematicamente o modelo tem um equilíbrio em C=-20 mg/L (não físico), mas para os tempos relevantes a solução acima descreve a queda da concentração.

Passo 5

Agora calcule C(5). Substitua t=5 em \;C(t)=120\,e^{-0,1t}-20:
C(5)=120\,e^{-0,1\cdot 5}-20=120\,e^{-0,5}-20.
Calcule numericamente e^{-0,5}. Usando e^{-0,5}\approx 0,60653066,
120\times 0,60653066\approx 72,783679.
Subtraindo 20:
C(5)\approx 72,783679-20=52,783679.
Arredondando razoavelmente:
\boxed{C(5)\approx 52,784\\ \text{mg/L}.}

Passo 6

Determine o tempo t tal que C(t)=10 mg/L. Partimos da fórmula:
10=120\,e^{-0,1t}-20.
Some 20 aos dois lados:
30=120\,e^{-0,1t}.
Divida por 120:
e^{-0,1t}=\frac{30}{120}=0,25.
Aplique logaritmo natural em ambos os lados:
-0,1t=\ln(0,25).
Use \ln(0,25)=\ln\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=-\ln 4. Assim
t=\frac{\ln 4}{0,1}.
Calcule numericamente: \ln 4\approx 1,3862943611, então
t\approx \frac{1,3862943611}{0,1}=13,862943611.
Arredondando:
\boxed{t\approx 13,863\\ \text{horas}.}

Resposta

(a) \;C(t)=120\,e^{-0,1t}-20.
(b) \;C(5)\approx 52,784\\ \text{mg/L}.
(c) \;t\approx 13,863\\ \text{horas}.

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