Problema: Modelagem da Concentração de Poluentes em um Rio
Contexto
Um engenheiro ambiental está modelando a concentração de um poluente em um rio após um vazamento acidental. O poluente é degradado naturalmente por processos biológicos (degradação microbiana) a uma taxa proporcional à sua concentração atual.
Situação
Imediatamente após o vazamento, a concentração do poluente no rio é de
. A taxa de degradação do poluente é proporcional à sua concentração, com constante de degradação
. Além disso, devido à vazão do rio e a processos de diluição, há uma entrada constante de água limpa que reduz a concentração a uma taxa constante de
.
Equação Diferencial
A variação da concentração
(em
) em função do tempo
(em horas) é modelada por:
Substituindo os valores:
Tarefa
Resolva a EDO separável e determine:
(a) A função concentração
(b) A concentração após 5 horas
(c) O tempo necessário para que a concentração caia para
(b) A concentração após 5 horas
(c) O tempo necessário para que a concentração caia para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Condição inicial:
mg/L. - Constante de degradação:
h . - Taxa de redução constante (diluição):
mg/L/h. - Equação diferencial:
. Substituindo os valores:
Perguntas:
(a) Determinar a função concentração .
(b) Calcular a concentração após 5 horas, isto é .
(c) Determinar o tempo tal que
mg/L.
(a) Determinar a função concentração
(b) Calcular a concentração após 5 horas, isto é
(c) Determinar o tempo
Passo 2
Vamos transformar a equação para que fique separável. Observe que a direita é
. Podemos fatorar
assim:
Calcule
:
Logo a EDO fica
Agora está numa forma em que podemos separar variáveis: termos com
de um lado e
do outro.
Breve explicação didática: separar variáveis significa escrever a equação como uma função de
multiplicando
igual a uma função de
multiplicando
. Aqui isso é possível após a fatoração porque o lado direito depende de
multiplicado por uma constante.
Passo 3
Separe as variáveis e integre:
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão do tipo
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Elimine o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Denote
. Assim
Para decidir o sinal e encontrar
, use a condição inicial
. No instante
:
Como
, temos
e o sinal é positivo. Logo
Isolando
,
Isso responde a pergunta (a). Pequena observação física: matematicamente o modelo tem um equilíbrio em
mg/L (não físico), mas para os tempos relevantes a solução acima descreve a queda da concentração.
Passo 5
Agora calcule
. Substitua
em
:
Calcule numericamente
. Usando
,
Subtraindo 20:
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Determine o tempo
tal que
mg/L. Partimos da fórmula:
Some
aos dois lados:
Divida por
:
Aplique logaritmo natural em ambos os lados:
Use
. Assim
Calcule numericamente:
, então
Arredondando:
Resposta
(a)
(b)
(c)