Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right)\
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n-n^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n} = n - n^{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
quando n\to\infty: determinar se converge ou diverge, indicar o critério usado e, quando possível, calcular o limite. O conteúdo principal aqui é a análise de limite de sequência envolvendo função trigonométrica para argumentos pequenos, usando equivalência de funções ou teorema do confronto.

Passo 2

Para x próximo de zero sabemos que
\sin x \le x \quad\text{e}\quad \sin x \ge x - \tfrac{x^{3}}{6},
que vêm da desigualdade básica e da expansão de Taylor com resto. Tomando x = \tfrac{1}{n}>0, obtemos
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \le \tfrac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad n^{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \le n,
e
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \ge \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{6n^{3}} \quad\Longrightarrow\quad n^{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) \ge n - \tfrac{1}{6n}.

Passo 3

Usando essas duas desigualdades em a_{n}=n - n^{2}\sin(\tfrac{1}{n}), temos
n - n \;\le\; a_{n} \;\le\; n -\bigl(n - \tfrac{1}{6n}\bigr),
ou seja
0 \;\le\; a_{n} \;\le\; \tfrac{1}{6n}.

Passo 4

Como \tfrac{1}{6n}\to 0 quando n\to\infty, pelo Teorema do Confronto segue que
a_{n}\longrightarrow 0.
Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge. Pelo critério do confronto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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