Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
quando
: determinar se converge ou diverge, indicar o critério usado e, quando possível, calcular o limite. O conteúdo principal aqui é a análise de limite de sequência envolvendo função trigonométrica para argumentos pequenos, usando equivalência de funções ou teorema do confronto.
Passo 2
Para
próximo de zero sabemos que
que vêm da desigualdade básica e da expansão de Taylor com resto. Tomando
, obtemos
e
Passo 3
Usando essas duas desigualdades em
, temos
ou seja
Passo 4
Como
quando
, pelo Teorema do Confronto segue que
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge. Pelo critério do confronto,