Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right)\
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=(1+3 n)^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = (1 + 3n)^{1/n},
tópico: limites de sequência e critério da raiz enésima (ou transformação logarítmica). Nosso objetivo é decidir se \{a_{n}\} converge e, se sim, determinar \lim_{n\to\infty}a_{n}.

Passo 2

Como a_{n}>0, usamos o logaritmo natural para simplificar a potência. Definimos
b_{n} = \ln\bigl(a_{n}\bigr) = \ln\bigl((1+3n)^{1/n}\bigr) = \frac{1}{n}\,\ln(1+3n).
Se \lim_{n\to\infty}b_{n}=L existir, então \lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{L} pela continuidade de e^{x}.

Passo 3

Calculamos
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+3n)}{n}.
Para grandes n, \ln(1+3n)\sim\ln n e sabe-se que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Logo,
\lim_{n\to\infty}b_{n}=0.

Passo 4

Aplicando a exponencial no resultado de b_{n}, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{b_{n}} = e^{0} = 1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e
\lim_{n\to\infty}(1+3n)^{1/n} = 1.

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