Assuma como verdadeiro o fato de que “se a_{n} \rightarrow a então \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \rightarrow a (ver Guidorizzi - vol.4 - pag.4)”
a) Conclua então que se a_{n}>0 e a_{n} \rightarrow a>0 então \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{n}} \rightarrow a.
b) Verifique que se \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \rightarrow L então \sqrt[n]{a_{n}} \rightarrow L.
c) Calcule o limite \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} para as sequências do item c) da questão anterior e veja se é possível dizer quais convergem para zero e quais vao para infinito, usando esta técnica. Compare as duas técnicas e veja em quais exemplos uma se mostrou mais adequada que a outra.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte fato já demonstrado: se (a_{n}) converge para a então
\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\;\longrightarrow\;a.
Pede-se aplicar esse resultado para (a) médias geométricas via logaritmo, (b) sequência cujo quociente tende a L e (c) calcular limites de \sqrt[n]{a_{n}} para certas sequências que não foram informadas aqui.

Passo 2

Para (a), defina b_{k}=\ln(a_{k}). Como a_{k}>0 e a_{k}\to a>0, temos b_{k}\to\ln(a). Pelo fato dado,
\frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n}\;\longrightarrow\;\ln(a).
Mas
\frac{b_{1}+\cdots+b_{n}}{n} =\ln\!\bigl((a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}\bigr)
portanto
\ln\!\bigl(\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}\bigr)\;\longrightarrow\;\ln(a),
e aplicando a exponencial conclui-se
\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}\;\longrightarrow\;a.

Passo 3

Para (b), como \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\to L, seja c_{k}=\ln\!\bigl(\tfrac{a_{k+1}}{a_{k}}\bigr). Então c_{k}\to\ln(L). Note que
\ln(a_{n}) =\ln(a_{1})+\sum_{k=1}^{n-1}\ln\!\bigl(\tfrac{a_{k+1}}{a_{k}}\bigr) =\ln(a_{1})+\sum_{k=1}^{n-1}c_{k}.
Dividindo por n e usando o fato dado em (c_{k}), obtemos
\frac{\ln(a_{n})}{n} =\frac{\ln(a_{1})}{n}+\frac{c_{1}+\cdots+c_{n-1}}{n} \;\longrightarrow\;0+\ln(L)=\ln(L).
Logo
\ln\!\bigl(\sqrt[n]{a_{n}}\bigr) =\frac{\ln(a_{n})}{n} \;\longrightarrow\;\ln(L) \quad\Longrightarrow\quad \sqrt[n]{a_{n}}\;\longrightarrow\;L.

Passo 4

O item (c) solicita calcular \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} para certas sequências mencionadas no item c) da questão anterior. Como essas sequências não foram fornecidas, não é possível executar esse cálculo nem decidir convergência a zero ou divergência a \infty.

Resposta

a) \displaystyle \sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}\;\longrightarrow\;a.
b) \displaystyle \sqrt[n]{a_{n}}\;\longrightarrow\;L.
c) Não é possível determinar sem conhecer as sequências originais.

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