Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right)\
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=(1+a / n)^{n} para a \in R

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
a_{n} = \bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr)^{n}
para parâmetro real a, determinando se converge ou diverge e, quando possível, seu limite. O conteúdo necessário é limite de sequência, uso de funções contínuas e o critério de transformar em soma via logaritmo.

Passo 2

Observamos que, para todo n, a_{n}>0, de modo que podemos definir
b_{n} = \ln\bigl(a_{n}\bigr) = n\,\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{a}{n}\Bigr).
Se \lim_{n\to\infty}b_{n}=L existe finito, pela continuidade da exponencial teremos \lim a_{n}=e^{L}.

Passo 3

Para calcular \lim b_{n} escrevemos
b_{n} = \frac{\ln\!\bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}
e aplicamos L’Hôpital, notando que, quando n\to\infty, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero:
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{d}{dn}\bigl[\ln(1 + a/n)\bigr]}{\frac{d}{dn}[1/n]} = \lim_{n\to\infty} \frac{\,-\frac{a}{n^{2}(1 + a/n)}\,}{\,-\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1 + a/n} = a.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}b_{n}=a, pela continuidade de \exp resulta
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{\,b_{n}} = e^{\,\lim b_{n}} = e^{a}.
Portanto a sequência converge para e^{a} para todo a\in\mathbb{R}.

Resposta

A sequência \bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr)^{n} converge para \displaystyle e^{a} pelo critério do logaritmo e continuidade da exponencial.

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