Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
para
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
para parâmetro real
, determinando se converge ou diverge e, quando possível, seu limite. O conteúdo necessário é limite de sequência, uso de funções contínuas e o critério de transformar em soma via logaritmo.
Passo 2
Observamos que, para todo
,
, de modo que podemos definir
Se
existe finito, pela continuidade da exponencial teremos
.
Passo 3
Para calcular
escrevemos
e aplicamos L’Hôpital, notando que, quando
, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero:
Passo 4
Como
, pela continuidade de
resulta
Portanto a sequência converge para
para todo
.
Resposta
A sequência
converge para
pelo critério do logaritmo e continuidade da exponencial.