Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências ( a_{n} ) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n-n^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = n - n^{2}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
O que se pede:
  • Dizer se a sequência \{a_n\} converge ou diverge.
  • Dizer qual critério usamos.
  • Quando possível, calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
As informações relevantes fornecidas são apenas a fórmula da sequência acima e que n vai a \infty (índices naturais). Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Para simplificar a análise é útil fazer a mudança de variável
x = \frac{1}{n},
de modo que x\to 0^+ quando n\to\infty. Reescrevendo a_n em função de x obtemos:
a_n = n - n^{2}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\sin(x).
Colocando em uma única fração:
a_n = \frac{x - \sin(x)}{x^{2}} \qquad\text{com } x=\frac{1}{n}\to 0^+.
Portanto o problema reduziu-se a calcular
\lim_{x\to 0^+}\frac{x-\sin(x)}{x^{2}}.

Passo 3

Vou usar o critério de L’Hôpital (regra de l’Hôpital). Primeiro verifico que a forma é indeterminada:
\text{quando } x\to 0,\quad x-\sin(x)\to 0\quad\text{e}\quad x^{2}\to 0,
ou seja temos 0/0. Aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x,
\frac{d}{dx}[x-\sin(x)] = 1-\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}[x^{2}] = 2x.
Assim
\lim_{x\to 0^+}\frac{x-\sin(x)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos(x)}{2x}.
Novamente, ao substituir x=0 obtemos forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
\frac{d}{dx}[1-\cos(x)] = \sin(x),\qquad \frac{d}{dx}[2x]=2.
Portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos(x)}{2x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{2} = \frac{0}{2} = 0.
Logo, pelo critério de L’Hôpital aplicado duas vezes,
\lim_{x\to 0^+}\frac{x-\sin(x)}{x^{2}} = 0.
Voltando à sequência, isso implica
\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
ou seja a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 4

Para reforçar a compreensão, mostro um outro método (expansão em série de Taylor) que também explica a velocidade com que a_n vai a zero. A série de Taylor de \sin x em torno de 0 é
\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\quad\text{quando }x\to 0.
Então
x-\sin(x) = \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}).
Dividindo por x^{2},
\frac{x-\sin(x)}{x^{2}} = \frac{x}{6} + O(x^{3}).
Substituindo x=1/n obtemos a equivalência assintótica
a_n = \frac{1}{6n} + O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Isto mostra não só que a_n\to 0 como também que a_n é positivo para n grande e decai da ordem 1/n. Esse argumento usou a expansão de Taylor (ou estimativa do resto), que é outra forma válida de concluir convergência.

Passo 5

Resumo dos critérios usados:
  • Usei a regra de L’Hôpital (duas aplicações) para calcular rigorosamente o limite \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^{2}}=0.
  • Como alternativa (intuitiva e que dá taxa de decaimento), usei a expansão de Taylor de \sin x em torno de 0, que mostra a_n\sim \tfrac{1}{6n}.
Força — você já tem a resposta e também duas maneiras de justificar na prova: L’Hôpital (mais algébrico) ou Taylor (mais assintótico).

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Exercícios relacionados