Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências (
) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
O que se pede:
- Dizer se a sequência
converge ou diverge. - Dizer qual critério usamos.
- Quando possível, calcular o limite
.
As informações relevantes fornecidas são apenas a fórmula da sequência acima e que
vai a
(índices naturais). Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Para simplificar a análise é útil fazer a mudança de variável
de modo que
quando
. Reescrevendo
em função de
obtemos:
Colocando em uma única fração:
Portanto o problema reduziu-se a calcular
Passo 3
Vou usar o critério de L’Hôpital (regra de l’Hôpital). Primeiro verifico que a forma é indeterminada:
ou seja temos
. Aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
,
Assim
Novamente, ao substituir
obtemos forma
, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
Portanto
Logo, pelo critério de L’Hôpital aplicado duas vezes,
Voltando à sequência, isso implica
ou seja a sequência converge e seu limite é
.
Passo 4
Para reforçar a compreensão, mostro um outro método (expansão em série de Taylor) que também explica a velocidade com que
vai a zero. A série de Taylor de
em torno de
é
Então
Dividindo por
,
Substituindo
obtemos a equivalência assintótica
Isto mostra não só que
como também que
é positivo para
grande e decai da ordem
. Esse argumento usou a expansão de Taylor (ou estimativa do resto), que é outra forma válida de concluir convergência.
Passo 5
Resumo dos critérios usados:
- Usei a regra de L’Hôpital (duas aplicações) para calcular rigorosamente o limite
. - Como alternativa (intuitiva e que dá taxa de decaimento), usei a expansão de Taylor de
em torno de , que mostra .
Força — você já tem a resposta e também duas maneiras de justificar na prova: L’Hôpital (mais algébrico) ou Taylor (mais assintótico).
Resposta
A sequência converge e
.