Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências ( a_{n} ) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=n\tan\left(\frac{1}{n}\right)
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge, dizendo qual critério foi usado. Quando possível, calcular o limite da sequência.
Informações relevantes: n é um índice que tende a +\infty; o argumento da tangente é \dfrac{1}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty. A pergunta concreta: a sequência \{a_n\} tem limite quando n\to\infty? Se sim, qual é esse limite?

Passo 2

Vamos transformar a expressão para conectar com um limite conhecido. Faça a mudança de variável
x=\frac{1}{n}.
Quando n\to\infty temos x\to 0^+. Reescrevendo a_n em termos de x obtemos
a_n = n\tan\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\tan x}{x}.
Portanto estudar \lim_{n\to\infty}a_n é o mesmo que estudar \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan x}{x}. Se conseguirmos calcular esse limite em x\to 0, teremos o limite da sequência.

Passo 3

Vamos usar um resultado clássico sobre seno e cosseno que nos ajuda a avaliar \dfrac{\tan x}{x}. Primeiro lembramos a desigualdade válida para x em (0,\tfrac{\pi}{2}):
\sin x < x < \tan x.
Esta desigualdade é padrão (pode ser vista geometricamente no círculo unitário: o comprimento do arco é maior que o comprimento do cordão e menor que o segmento tangente). A partir dela dividimos por x\sin x (positivo nesse intervalo) para obter:
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora usamos o Teorema do Confronto (squeeze): como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pela desigualdade acima segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso é um limite fundamental que vamos empregar.

Passo 4

Agora relacionamos \dfrac{\tan x}{x} com \dfrac{\sin x}{x} e \cos x. Observe que
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Usamos limites conhecidos: já temos \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 e sabemos também que \displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=1. Como 1/\cos x tende a 1/1=1 quando x\to 0, pelo produto de limites:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\right)=1\cdot 1=1.

Passo 5

Voltando à sequência, pela substituição x=\dfrac{1}{n} e pelo resultado do passo anterior, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan(1/n)}{1/n} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{x}=1.
Portanto a sequência converge e seu limite é 1.

Passo 6

Resumo do critério usado (para você decorar e usar na prova): transformei a_n numa função de uma variável que tende a zero, usei a identidade \dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}, apliquei o Teorema do Confronto para saber que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e a continuidade de \cos em 0 para concluir que o produto de limites é 1. Esse é um caminho padrão e rápido em provas.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty} n\tan\!\left(\frac{1}{n}\right)=1.

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