Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências (
) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge, dizendo qual critério foi usado. Quando possível, calcular o limite da sequência.
Informações relevantes: é um índice que tende a
; o argumento da tangente é
, que tende a
quando
. A pergunta concreta: a sequência
tem limite quando
? Se sim, qual é esse limite?
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos transformar a expressão para conectar com um limite conhecido. Faça a mudança de variável
Quando
temos
. Reescrevendo
em termos de
obtemos
Portanto estudar
é o mesmo que estudar
. Se conseguirmos calcular esse limite em
, teremos o limite da sequência.
Passo 3
Vamos usar um resultado clássico sobre seno e cosseno que nos ajuda a avaliar
. Primeiro lembramos a desigualdade válida para
em
:
Esta desigualdade é padrão (pode ser vista geometricamente no círculo unitário: o comprimento do arco é maior que o comprimento do cordão e menor que o segmento tangente). A partir dela dividimos por
(positivo nesse intervalo) para obter:
Agora usamos o Teorema do Confronto (squeeze): como
, pela desigualdade acima segue que
Isso é um limite fundamental que vamos empregar.
Passo 4
Agora relacionamos
com
e
. Observe que
Usamos limites conhecidos: já temos
e sabemos também que
. Como
tende a
quando
, pelo produto de limites:
Passo 5
Voltando à sequência, pela substituição
e pelo resultado do passo anterior, obtemos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 6
Resumo do critério usado (para você decorar e usar na prova): transformei
numa função de uma variável que tende a zero, usei a identidade
, apliquei o Teorema do Confronto para saber que
e a continuidade de
em
para concluir que o produto de limites é
. Esse é um caminho padrão e rápido em provas.
Resposta
A sequência converge e
.