Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências (
) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
e dizer qual critério foi usado; quando possível, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
é um número real com
para todo
, o expoente
é par (logo
), e
para todo
.
Passo 2
Primeira observação prática (sem pânico, é simples): como
é par,
é não negativo para todo
. Além disso, como
temos
Multiplicando por
(que só muda o sinal) obtemos
Passo 3
Agora dividimos a desigualdade pela quantidade positiva
. Como dividir por um número positivo preserva as desigualdades, obtemos
Ou, de forma equivalente para o valor absoluto,
Passo 4
Agora preciso lembrar (e te ensinar rapidinho) uma propriedade básica de sequências geométricas: se
é um número real com
, então
. No nosso caso
satisfaz
, logo
Intuição curta: potências de um número menor que 1 vão ficando cada vez menores e tendem a zero.
Passo 5
Agora usamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto / Squeeze): se duas sequências
e
convergem para o mesmo limite
e
para todo
, então
também converge para
. Aqui tomamos
,
. Como
o Teorema do Confronto dá
Alternativamente, pela desigualdade
e o fato de
, concluímos que
e, portanto,
.
Passo 6
Resumo do porquê dessa escolha de método: escolher o Teorema do Confronto / comparação com a sequência geométrica
é o caminho mais direto porque usamos apenas o fato de que
e que potências de
tendem a zero — nada complicado, sem calculadora, e é exatamente o que pedem num exame.
Resposta
A sequência converge e
. Critério usado: Teorema do Confronto / comparação com
.