Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências ( a_{n} ) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=\frac{(-1)^{n}(\cos n)^{100}}{4^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n}(\cos n)^{100}}{4^{n}}
e dizer qual critério foi usado; quando possível, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: \cos n é um número real com -1\le \cos n\le 1 para todo n, o expoente 100 é par (logo (\cos n)^{100}\ge 0), e 4^{n}>0 para todo n.

Passo 2

Primeira observação prática (sem pânico, é simples): como 100 é par, (\cos n)^{100} é não negativo para todo n. Além disso, como -1\le \cos n\le 1 temos
0 \le (\cos n)^{100} \le 1.
Multiplicando por (-1)^{n} (que só muda o sinal) obtemos
-1 \le (-1)^{n}(\cos n)^{100} \le 1.

Passo 3

Agora dividimos a desigualdade pela quantidade positiva 4^{n}. Como dividir por um número positivo preserva as desigualdades, obtemos
-\frac{1}{4^{n}} \le \frac{(-1)^{n}(\cos n)^{100}}{4^{n}} \le \frac{1}{4^{n}}.
Ou, de forma equivalente para o valor absoluto,
\left|a_{n}\right| = \frac{(\,|\cos n|\,)^{100}}{4^{n}} \le \frac{1}{4^{n}}.

Passo 4

Agora preciso lembrar (e te ensinar rapidinho) uma propriedade básica de sequências geométricas: se r é um número real com |r|<1, então \lim_{n\to\infty} r^{n}=0. No nosso caso r=\tfrac{1}{4} satisfaz |r|=\tfrac{1}{4}<1, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{4^{n}} = 0.
Intuição curta: potências de um número menor que 1 vão ficando cada vez menores e tendem a zero.

Passo 5

Agora usamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto / Squeeze): se duas sequências (b_{n}) e (c_{n}) convergem para o mesmo limite L e b_{n}\le a_{n}\le c_{n} para todo n, então a_{n} também converge para L. Aqui tomamos b_{n}=-\tfrac{1}{4^{n}}, c_{n}=\tfrac{1}{4^{n}}. Como
\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{4^{n}} = 0 = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4^{n}},
o Teorema do Confronto dá
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
Alternativamente, pela desigualdade \left|a_{n}\right|\le \tfrac{1}{4^{n}} e o fato de \tfrac{1}{4^{n}}\to 0, concluímos que \left|a_{n}\right|\to 0 e, portanto, a_{n}\to 0.

Passo 6

Resumo do porquê dessa escolha de método: escolher o Teorema do Confronto / comparação com a sequência geométrica \tfrac{1}{4^{n}} é o caminho mais direto porque usamos apenas o fato de que |\cos n|\le 1 e que potências de \tfrac{1}{4} tendem a zero — nada complicado, sem calculadora, e é exatamente o que pedem num exame.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Critério usado: Teorema do Confronto / comparação com \displaystyle \frac{1}{4^{n}}.

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