Os resultados referentes à fluidização com ar ( 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ) em tubo de 10 cm de diâmetro preenchido com 5.380 g de dolomita \left(d_{p}=0,18 \mathrm{~mm} ; \varphi=0,6\right.; \rho_{p}=2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) são apresentados na Tabela 12 (MASSARANI, 1997). Pede-se:
a) determinar, por meio dos dados experimentais, o valor da fração de vazios e a velocidade superficial do fluido em condições de mínima fluidização;
b) verificar o resultado clássico da fluidização: -\Delta P= W/Área; em que ( -\Delta P ) é a queda de pressão no leito, W é o peso aparente da fase particulada e Área é a área da seção de fluidização;
c) Estimar o valor da velocidade superficial do fluido em condições de mínima fluidização a partir da equação válida para escoamento darcyniano.
Vazão de ar (litro/min) (-\Delta P) (cm de coluna de água) H_{\text {leito }} (cm)
21,3 74,4 57,3
17,2 73,0 55,3
14,3 71,7 54,3
11,4 69,3 51,2
9,54 67,6 50,2
7,20 51,0 50,2
5,30 37,6 50,1
3,20 22,7 50,0

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei estes números do enunciado e da tabela fornecida):
  • Diâmetro do tubo: D=10\\ \mathrm{cm}.
  • Massa das partículas: m=5{,}380\\ \mathrm{kg}. (Usei 5{,}380\\ \mathrm{kg} em vez de 5{,}380\\ \mathrm{g} para obter resultados fisicamente coerentes com as alturas de leito fornecidas.)
  • Diâmetro das partículas: d_{p}=0{,}18\\ \mathrm{mm}.
  • Esfericidade (ou fator de forma): \varphi=0{,}6.
  • Densidade das partículas: \rho_{p}=2{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}=2600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Condições do gás: ar a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Usei densidade do ar \rho_{f}=1{,}204\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Dados experimentais (peguei os pares \dot V (-\Delta P) H_{\text{leito}} da tabela):
    • \dot V=21{,}3\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=74{,}4\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=57{,}3\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=17{,}2\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=73{,}0\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=55{,}3\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=14{,}3\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=71{,}7\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=54{,}3\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=11{,}4\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=69{,}3\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=51{,}2\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=9{,}54\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=67{,}6\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=50{,}2\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=7{,}20\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=51{,}0\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=50{,}2\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=5{,}30\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=37{,}6\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=50{,}1\\ \mathrm{cm}
    • \dot V=3{,}20\\ \mathrm{L/min},\\ (-\Delta P)=22{,}7\\ \mathrm{cmH_2O},\\ H=50{,}0\\ \mathrm{cm}
O que o enunciado pede:
a) Determinar, por meio dos dados experimentais, a fração de vazios \varepsilon e a velocidade superficial do fluido U nas condições de mínima fluidização.
b) Verificar a relação clássica da fluidização -\Delta P = W/\text{Área}Á, onde W é o peso aparente da fase particulada e Área é a área da seção.
c) Estimar U_{mf} a partir da equação válida para escoamento darcyniano (usar uma fórmula de permeabilidade / Kozeny–Carman adequada).

Passo 2

Identificar o ponto de mínima fluidização nos dados (como se faz na prática):
  • Em um experimento de fluidização, (-\Delta P) aumenta com a vazão até atingir uma “plataforma” (praticamente constante): esse é o ponto onde o leito começa a fluidizar — mínimo de fluidização. Observando a tabela: para \dot V\leq7{,}20\\ \mathrm{L/min} há queda forte de pressão; para \dot V=9{,}54\\ \mathrm{L/min} já temos (-\Delta P)=67{,}6\\ \mathrm{cmH_2O} e valores maiores de \dot V não aumentam muito o (-\Delta P) (74{,}4 a 67{,}6 cmH2O), ou seja, a “plataforma” começa em torno de \dot V=9{,}54\\ \mathrm{L/min}.
  • Portanto escolho o ponto experimental de mínima fluidização em \dot V_{mf}=9{,}54\\ \mathrm{L/min} com H_{mf}=50{,}2\\ \mathrm{cm} e (-\Delta P)_{mf}=67{,}6\\ \mathrm{cmH_{2}O}.

Passo 3

Converter unidades e calcular área da seção e vazão volumétrica em SI (passo a passo, bem mastigado):
  • Diâmetro: D=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. Área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão escolhida: \dot V_{mf}=9{,}54\\ \mathrm{L/min}=9{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/min}. Converter para \mathrm{m^{3}/s}:
\dot V_{mf}=\frac{9{,}54\times10^{-3}}{60}=1{,}59\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Altura do leito no mf: H_{mf}=50{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}502\\ \mathrm{m}.
  • Conversão de pressão: 1\\ \mathrm{cmH_{2}O}=98{,}0665\\ \mathrm{Pa}. Assim
(-\Delta P)_{mf}=67{,}6\\ \mathrm{cmH_{2}O}=67{,}6\times98{,}0665\approx6629{,}7\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a velocidade superficial experimental em mínimo de fluidização:
  • Definição: a velocidade superficial U é a vazão volumétrica dividida pela área:
U_{mf}=\frac{\dot V_{mf}}{A}.
  • Substituindo:
U_{mf}=\frac{1{,}59\times10^{-4}}{0{,}00785398}\approx0{,}02025\\ \mathrm{m/s}.
  • Resultado prático (arredondando): U_{mf,\text{exp}}\approx0{,}0203\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar a fração de vazios \varepsilon no leito em condição de mínima fluidização (mass balance):
  • Volume do leito experimental no mf: V_{leito}=A\cdot H_{mf}.
  • Volume real ocupado por sólidos: V_{s}=\dfrac{m}{\rho_{p}}.
  • Fração sólida do volume do leito: (1-\varepsilon)=\dfrac{V_{s}}{V_{leito}}=\dfrac{m}{\rho_{p} A H_{mf}}. Logo
\varepsilon=1-\frac{m}{\rho_{p} A H_{mf}}.
  • Substituindo (usar m=5{,}380\\ \mathrm{kg}, \rho_{p}=2600\\ \mathrm{kg/m^{3}}, A=0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}, H_{mf}=0{,}502\\ \mathrm{m}):
\rho_{p}A H_{mf}=2600\times0{,}00785398\times0{,}502\approx10{,}2575\\ \mathrm{kg},
1-\varepsilon=\frac{5{,}380}{10{,}2575}\approx0{,}5246,
\varepsilon_{mf}=1-0{,}5246=0{,}4754.
  • Resultado prático: \varepsilon_{mf}\approx0{,}475 (ou seja, o leito expandido tem cerca de 47{,}5\% de vazio).

Passo 6

Verificação da relação clássica -\Delta P = W/\text{Área}Á (peso aparente por área):
  • Interpretação de W: peso aparente da fase particulada. Isso corresponde ao peso no ar, ou seja o peso real menos o empuxo do fluido:
W_{\text{aparente}}=m g\left(1-\frac{\rho_{f}}{\rho_{p}}\right).
  • Calcular W_{\text{aparente}}: com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, \rho_{f}=1{,}204\\ \mathrm{kg/m^{3}},
W_{\text{aparente}}=5{,}380\times9{,}81\times\left(1-\frac{1{,}204}{2600}\right)\approx52{,}75\\ \mathrm{N}.
  • Dividindo pela área:
\frac{W_{\text{aparente}}}{A}=\frac{52{,}75}{0{,}00785398}\approx6718{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Comparar com o valor experimental de queda de pressão:
(-\Delta P)_{mf,\text{exp}}=6629{,}7\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença relativa:
\frac{6718{,}5-6629{,}7}{6629{,}7}\approx0{,}0134\quad(\text{ou }1{,}34\%).
  • Conclusão: a igualdade clássica é satisfeita dentro da precisão experimental (diferença ≈ 1{,}3\%), o que confirma a teoria.

Passo 7

Estimativa de U_{mf} a partir de uma equação darcyniana (Kozeny–Carman adaptada; explico a escolha):
  • Para escoamento darcyniano em um leito empacotado a permeabilidade K pode ser estimada pela forma de Kozeny–Carman, incluindo a esfericidade \varphi:
K=\frac{\varphi^{2}\,\varepsilon^{3}\,d_{p}^{2}}{180\,(1-\varepsilon)^{2}}.
Breve explicação dessa fórmula (passo-a-passo): K tem dimensões de \mathrm{m^{2}} e depende do quadrado do diâmetro das partículas d_{p}^{2}, da porosidade \varepsilon e da geometria das partículas (esfericidade \varphi). O fator 180 vem do modelo de Kozeny–Carman com a constante de Kozeny K_{0}\approx5 e a relação da área específica.
  • A lei de Darcy dá:
\frac{\Delta P}{H}=\frac{\mu}{K}\,U \quad\Longrightarrow\quad U=\frac{K}{\mu}\,\frac{\Delta P}{H}.

Passo 8

Aplicar os números na expressão de Kozeny–Carman + Darcy:
  • Valores usados: d_{p}=0{,}18\\ \mathrm{mm}=1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}; \varphi=0{,}6; \varepsilon=\varepsilon_{mf}=0{,}4754; \mu=1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}; \Delta P/H=6629{,}7/0{,}502\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Calcule K:
K=\frac{(0{,}6)^{2}\,(0{,}4754)^{3}\,(1{,}8\times10^{-4})^{2}}{180\,(1-0{,}4754)^{2}}\approx1{,}396\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\times10^{-3} \\ (\text{valor intermediário}),á
(efetuei os cálculos numéricos no próximo passo).
  • Agora U:
U_{mf,\text{Darcy}}=\frac{K}{\mu}\,\frac{\Delta P}{H}.
  • Substituindo e calculando cuidadosamente (passo a passo numérico):
    • d_{p}^{2}=(1{,}8\times10^{-4})^{2}=3{,}24\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • \varepsilon^{3}=0{,}4754^{3}\approx0{,}1074.
    • Numerador de K: \varphi^{2}\varepsilon^{3}d_{p}^{2}=0{,}36\times0{,}1074\times3{,}24\times10^{-8}\approx1{,}252\times10^{-9}.
    • Denominador de K: 180(1-\varepsilon)^{2}=180\times(0{,}5246)^{2}\approx8{,}9658\times10^{-4}.
    • Logo K\approx\frac{1{,}252\times10^{-9}}{8{,}9658\times10^{-4}}\approx1{,}396\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • \Delta P/H=6629{,}7/0{,}502\approx13210\\ \mathrm{Pa/m}.
    • Finalmente
    U_{mf,\text{Darcy}}=\frac{1{,}396\times10^{-6}}{1{,}81\times10^{-5}}\times13210\approx0{,}01844\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Comparação, interpretação e comentários finais (dicas para a prova):
  • Resultados numéricos obtidos:
    • Fração de vazios experimental em mf: \varepsilon_{mf}\approx0{,}475.
    • Velocidade superficial experimental em mf: U_{mf,\text{exp}}\approx0{,}0203\\ \mathrm{m/s}.
    • Verificação da relação clássica: (-\Delta P)_{mf}=6629{,}7\\ \mathrm{Pa} e W_{\text{aparente}}/A\approx6718{,}5\\ \mathrm{Pa} (diferença \approx1{,}3\%).
    • Estimativa darcyniana (Kozeny–Carman + Darcy): U_{mf,\text{Darcy}}\approx0{,}01844\\ \mathrm{m/s} (diferença ≈ 9\% em relação ao valor experimental).
  • Comentários práticos para prova:
    • Para achar U_{mf} experimental, identifique o primeiro ponto na tabela onde (-\Delta P) “se estabiliza” (a partir daí toma-se esse \dot V como \dot V_{mf}).
    • Use sempre as mesmas unidades (SI) nas contas; mostre as conversões na prova.
    • Na verificação -\Delta P = W/\text{Área}Á lembre-se de usar o peso aparente (subtrair o empuxo do fluido); no caso do ar isso dá pouco efeito, mas é conceitualmente correto.
    • Para estimativa teórica de U_{mf} preferível usar Kozeny–Carman com correção por esfericidade quando as partículas não são perfeitamente esféricas — isso aproximou bem o valor experimental (diferença < 10%).

Resposta

a) \varepsilon_{mf}=0{,}475; U_{mf,\text{exp}}=0{,}0203\\ \mathrm{m/s} (correspondente a \dot V_{mf}=9{,}54\\ \mathrm{L/min}).
b) (-\Delta P)_{mf}=67{,}6\\ \mathrm{cmH_{2}O}=6629{,}7\\ \mathrm{Pa};\ \dfrac{W_{\text{aparente}}}{A}=6718{,}5\\ \mathrm{Pa} (diferença \approx1{,}3\%: boa concordância).
c) U_{mf,\text{Darcy (Kozeny–Carman)}}\approx0{,}0184\\ \mathrm{m/s} (≈9% abaixo do valor experimental).

Exercícios relacionados