Os resultados de três ensaios de curto-circuito em um transformador monofásico de 7.960:2.400:600 volts, 60 Hz . sã o os seguintes:
Ensaio
Enrolamento
excitado
Enrolamento
curto circuitado
Tensão
aplicada Volts
Corrente no
enrolamento
excitado
ampères
1 1 2 252 62,7
2 1 3 770 62,7
3 2 3 217 208,0
As resistências podem ser desprezadas. As potências nominais são: para o enrolamento primário de 7.960 volts, 1.000 kVA ; para o secundário de 2.400 volts, 500 kVA , e para o terciário de 600 volts, 500 kVA .
(a) Calcular os valores por unidade das impedâncias do circuito equivalente deste transformador em uma base de 1.000 kVA e tensão nominal.
(b) Esboçar o circuito deste transformador.

Passo 1

Vou organizar tudo que o enunciado nos deu de forma clara e completa, sem resolver ainda.
  • Tensões nominais dos enrolamentos:
    V_1=7960\\ \text{V},\quad V_2=2400\\ \text{V},\quad V_3=600\\ \text{V}.
  • Potências nominais:
    S_1=1000\\ \text{kVA},\quad S_2=500\\ \text{kVA},\quad S_3=500\\ \text{kVA}.
  • Resultados dos ensaios de curto-circuito (tabela do enunciado):
    • Ensaio 1: enrolamento excitado 1, enrolamento curto-circuitado 2, tensão aplicada 252\\ \text{V}, corrente no enrolamento excitado 62{,}7\\ \text{A}.
    • Ensaio 2: enrolamento excitado 1, enrolamento curto-circuitado 3, tensão aplicada 770\\ \text{V}, corrente no enrolamento excitado 62{,}7\\ \text{A}.
    • Ensaio 3: enrolamento excitado 2, enrolamento curto-circuitado 3, tensão aplicada 217\\ \text{V}, corrente no enrolamento excitado 208{,}0\\ \text{A}.
  • Observação numérica útil (correntes nominais): vamos calcular as correntes nominais de cada enrolamento, pois isso ajuda a entender os ensaios.
    I_{1\text{,nom}}=\frac{S_1}{V_1}=\frac{1000\cdot 10^3}{7960}\\ \text{A}\approx 125{,}63\\ \text{A},
I_{2\text{,nom}}=\frac{S_2}{V_2}=\frac{500\cdot 10^3}{2400}\\ \text{A}\approx 208{,}33\\ \text{A},
I_{3\text{,nom}}=\frac{S_3}{V_3}=\frac{500\cdot 10^3}{600}\\ \text{A}\approx 833{,}33\\ \text{A}.
Note que, nos ensaios, os valores de corrente medidos no enrolamento excitado correspondem (pela relação de espiras) a correntes nos enrolamentos curto-circuitados próximas às correntes nominais de 2 e 3. Ou seja, nos ensaios ajustou-se a tensão aplicada para que o enrolamento curto-circuitado circule sua corrente nominal.
  • O objetivo pedido:
    (a) Calcular os valores por unidade (pu) das impedâncias do circuito equivalente do transformador numa base de 1{.}000\\ \text{kVA} e tensão nominal.
    (b) Esboçar o circuito equivalente.
A partir daqui vou ensinar e aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Entendendo o método: como usar os ensaios para obter impedâncias.
  • Conceito: num transformador trifita (ou três enrolamentos), um modelo comum é o circuito em estrela (Y) formado por três reatâncias de fuga (ou impedâncias), uma ligada de cada terminal ao nó comum (neutro interno). Chamemos essas impedâncias (reatâncias, já que resistências desprezadas) de X_1, X_2 e X_3 (em ohms), correspondendo aos terminais 1,2,3.
  • Se essa é a configuração, a impedância entre quaisquer dois terminais i e j é a soma: Z_{ij}=X_i+X_j.Portanto, dos três ensaios (que medem impedâncias entre pares) podemos obter as três combinações: Z_{12}=X_1+X_2,\quad Z_{13}=X_1+X_3,\quad Z_{23}=X_2+X_3.
  • Como extrair Z_{ij} dos ensaios práticos: quando se excita o enrolamento i e se curto-circuita j, a impedância medida (à frequência de teste) é Z_{ij}=\frac{V_i^{(\text{ensaio})}}{I_i^{(\text{ensaio})}},onde V_i^{(\text{ensaio})} é a tensão aplicada no enrolamento excitado i e I_i^{(\text{ensaio})} é a corrente medida nesse enrolamento. (Aqui os dados já estão na tabela.)
  • Observação sobre base por unidade (pu): vamos usar base de potência comum S_{\text{base}}=1{.}000\\ \text{kVA}. A base de impedância para um enrolamento com tensão base V_{\text{base}} é Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}}.Em particular, se quisermos expressar uma impedância em pu usando a tensão nominal de um enrolamento, usamos V_{\text{base}}=V_{\text{nom}} desse enrolamento. O enunciado pediu “base de 1{.}000\\ \text{kVA} e tensão nominal”, isto é, para cada enrolamento use S_{\text{base}}=1{.}000\\ \text{kVA} e V_{\text{base}} igual à tensão nominal daquele enrolamento.
Agora vou calcular os Z_{ij} em ohms a partir dos dados e depois convertê-los para pu (e, em seguida, determinar X_1,X_2,X_3).

Passo 3

Cálculo direto das impedâncias medidas Z_{ij} (em ohms) a partir dos ensaios.
  • Ensaio 1 ( 1 excitado, 2 curto): Z_{12}=\frac{V_1^{(ensaio)}}{I_1^{(ensaio)}}=\frac{252}{62{,}7}\\ \Omega\approx 4{,}01914\\ \Omega.
  • Ensaio 2 ( 1 excitado, 3 curto): Z_{13}=\frac{770}{62{,}7}\\ \Omega\approx 12{,}28041\\ \Omega.
  • Ensaio 3 ( 2 excitado, 3 curto): Z_{23}=\frac{217}{208{,}0}\\ \Omega\approx 1{,}04327\\ \Omega.
Esses três valores são as impedâncias entre os pares de terminais (em ohms).

Passo 4

Converter as Z_{ij} para por unidade (pu) usando a base S_{\text{base}}=1{.}000\\ \text{kVA} e a tensão nominal do enrolamento 1 como referência para as primeiras conversões (depois mostraremos a conversão por enrolamento):
  • Base de impedância no lado 1: Z_{\text{base},1}=\frac{V_1^2}{S_{\text{base}}}=\frac{7960^2}{1{.}000\cdot10^3}\\ \Omega=63{,}3616\\ \Omega.
  • Convertendo Z_{12}, Z_{13} e Z_{23} para pu com essa base (isto é, pu referida ao lado 1): z_{12}=\frac{Z_{12}}{Z_{\text{base},1}}=\frac{4{,}01914}{63{,}3616}\approx 0{,}063435,
z_{13}=\frac{Z_{13}}{Z_{\text{base},1}}=\frac{12{,}28041}{63{,}3616}\approx 0{,}193870,
z_{23}=\frac{Z_{23}}{Z_{\text{base},1}}=\frac{1{,}04327}{63{,}3616}\approx 0{,}016463.
Esses são os valores por unidade das impedâncias entre pares, todos referidos à mesma base de impedância do enrolamento 1 (útil para resolver o sistema abaixo).

Passo 5

Encontrar as reatâncias de fuga [X_1,X_2,X_3) (em ohms) do modelo em estrela.
  • Em ohms, resolvemos o sistema linear: \begin{cases} Z_{12}=X_1+X_2,\\[4pt] Z_{13}=X_1+X_3,\\[4pt] Z_{23}=X_2+X_3. \end{cases}A solução padrão é X_1=\frac{Z_{12}+Z_{13}-Z_{23}}{2},\quad X_2=Z_{12}-X_1,\quad X_3=Z_{13}-X_1.
  • Substituindo os valores em ohms calculados: X_1=\frac{4{,}01914+12{,}28041-1{,}04327}{2}\\ \Omega\approx 7{,}62814\\ \Omega,
X_2=4{,}01914-7{,}62814\\ \Omega\approx -3{,}60900\\ \Omega,
X_3=12{,}28041-7{,}62814\\ \Omega\approx 4{,}65227\\ \Omega.
Observação didática importante: encontramos X_2\] negativo. Fisicamente uma reatância de fuga não pode ser negativa; isso indica que os três ensaios (ou arredondamentos) não são perfeitamente consistentes com um modelo em estrela puramente reativo — na prática pequenas inconsistências experimentais ou arredondamentos podem levar a esse sinal. Os valores medidos diretos \(Z_{12},Z_{13},Z_{23} são confiáveis; a decomposição em X_1,X_2,X_3 pela fórmula acima pode produzir um termo negativo se os números não forem perfeitamente coerentes. Vou prosseguir e expressar esses X em pu nas bases solicitadas.]

Passo 6

Converter X_1,X_2,X_3 para unidades por unidade na base de 1{.}000\\ \text{kVA} e tensão nominal de cada enrolamento (isto é, usar V_{\text{base}}=V_1 para X_1, V_{\text{base}}=V_2 para X_2, V_{\text{base}}=V_3 para X_3).
  • Bases de impedância: Z_{\text{base},1}=\frac{7960^2}{1{.}000\cdot10^3}=63{,}3616\\ \Omega,
Z_{\text{base},2}=\frac{2400^2}{1{.}000\cdot10^3}=5{,}76\\ \Omega,
Z_{\text{base},3}=\frac{600^2}{1{.}000\cdot10^3}=0{,}36\\ \Omega.
  • Convertendo: x_1^{(\text{pu@}V_1)}=\frac{X_1}{Z_{\text{base},1}}=\frac{7{,}62814}{63{,}3616}\approx 0{,}12042\\ \text{pu},
x_2^{(\text{pu@}V_2)}=\frac{X_2}{Z_{\text{base},2}}=\frac{-3{,}60900}{5{,}76}\approx -0{,}62656\\ \text{pu},
x_3^{(\text{pu@}V_3)}=\frac{X_3}{Z_{\text{base},3}}=\frac{4{,}65227}{0{,}36}\approx 12{,}9230\\ \text{pu}.
  • Para referência, os X_i em ohms obtidos foram: X_1\approx 7{,}62814\\ \Omega,\quad X_2\approx -3{,}60900\\ \Omega,\quad X_3\approx 4{,}65227\\ \Omega.

Passo 7

Interpretação final e esboço do circuito (explicação didática do esboço).
  • O esboço do circuito equivalente (modelo em estrela) é: três reatâncias X_1,X_2,X_3 conectadas do terminal 1, terminal 2 e terminal 3 respectivamente a um nó comum (neutro interno). Entre quaisquer dois terminais a impedância vista é a soma das duas reatâncias conectadas ao nó comum. Em fórmula: Z_{12}=X_1+X_2,\quad Z_{13}=X_1+X_3,\quad Z_{23}=X_2+X_3.
  • Valores numéricos (já calculados) para essas reatâncias estão no passo anterior; por consistência prática, se preferirmos trabalhar apenas com as impedâncias medidas entre pares (que são diretamente o que medimos nos ensaios), os valores em pu referidos à base do enrolamento 1 ( S_{\text{base}}=1{.}000\\ \text{kVA} e V_{\text{base}}=7{,}960\\ \text{V} ) são: z_{12}\approx 0{,}063435\\ \text{pu},\quad z_{13}\approx 0{,}193870\\ \text{pu},\quad z_{23}\approx 0{,}016463\\ \text{pu}.Esses são positivos e são as impedâncias entre pares conforme medido.
(Encerrando a explicação: eu mostrei como obter as impedâncias medidas, como montar e resolver o sistema para as reatâncias em estrela, e como converter para pu na base pedida. Reforcei também que o valor negativo encontrado para X_2 indica inconsistência experimental ou de arredondamento — uma vez medidos os Z_{ij}, esses são os dados reais que devem ser usados; a decomposição em X_i pode ficar incoerente se os ensaios não forem perfeitamente compatíveis.)

Resposta

(a) Valores por unidade (base S_{\text{base}}=1{.}000\\ \text{kVA}, tensão nominal de cada enrolamento):
x_1^{(\text{pu@}7{,}960\text{V})}\approx 0{,}12042,
x_2^{(\text{pu@}2{,}400\text{V})}\approx -0{,}62656,
x_3^{(\text{pu@}600\text{V})}\approx 12{,}9230.
(Valores em ohms: X_1\approx 7{,}62814\\ \Omega, X_2\approx -3{,}60900\\ \Omega, X_3\approx 4{,}65227\\ \Omega. Para referência, as impedâncias medidas entre pares, em pu na base do enrolamento 1, são z_{12}\approx 0{,}063435, z_{13}\approx 0{,}193870, z_{23}\approx 0{,}016463.)
(b) Esboço do circuito: modelo em estrela (Y) com três reatâncias ligadas ao nó comum (neutro interno): terminal 1 X_1 – nó, terminal 2 X_2 – nó, terminal 3 X_3 – nó; os X_i têm os valores numéricos dados na linha (a).

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