Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto
com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto
a uma curva dada por
o coeficiente angular é dado por
. Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando
o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por
. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva dada por
no ponto cuja abscissa é
.
Informações fornecidas: e o ponto indicado é
.
Perguntas a responder: qual é a equação da reta tangente em e qual é a equação da reta normal em
.
Informações fornecidas:
Perguntas a responder: qual é a equação da reta tangente em
Passo 2
Primeiro preciso determinar as coordenadas do ponto na curva correspondente a
. Calculo
substituindo
em
:
Portanto o ponto da curva é
.
Passo 3
Agora preciso do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em
. Conceito rápido: o coeficiente angular da reta tangente num ponto
é a derivada
. A derivada
representa a taxa de variação instantânea de
em relação a
; formalmente
mas em cálculos práticos usamos regras de derivação (mais simples e rápidas).
Passo 4
Vou derivar
termo a termo. Regras usadas (explicação curta):
- Derivada de
é (regra da potência). - Derivada de
é . - Derivada de constante é
.
Aplicando:
Somando os termos,
Passo 5
Avalio a derivada no ponto
para obter o coeficiente angular da tangente:
Logo a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Equação da reta tangente: uso a forma ponto-inclinação (explicação): a equação da reta que passa por
com inclinação
é
Aqui
e
. Substituindo:
Simplifico:
Passo 7
Agora a reta normal: conceito e relação de inclinações. A reta normal em um ponto é a reta perpendicular à tangente nesse ponto. Para duas retas não verticais com inclinações
e
, elas são perpendiculares se, e somente se,
. Assim, o coeficiente angular da normal é
desde que
. Aqui
, então podemos aplicar.
Passo 8
Calculo a inclinação da normal:
Passo 9
Escrevo a equação da reta normal usando novamente a forma ponto-inclinação, com
e
:
Simplifico:
Resposta
Tangente:
Normal:
Normal: