Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto \left(90^{\circ}\right) com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto x=a a uma curva dada por y=f(x) o coeficiente angular é dado por f^{\prime}(a). Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando f^{\prime}(a) \neq 0 o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por \frac{-1}{f^{\prime}(a)}. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
f(x)=2 x^{2}-3 x-5 no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva dada por f(x)=2x^{2}-3x-5 no ponto cuja abscissa é x=0.
Informações fornecidas: f(x)=2x^{2}-3x-5 e o ponto indicado é x=0.
Perguntas a responder: qual é a equação da reta tangente em x=0 e qual é a equação da reta normal em x=0.

Passo 2

Primeiro preciso determinar as coordenadas do ponto na curva correspondente a x=0. Calculo f(0) substituindo x=0 em f(x):
f(0)=2\cdot 0^{2}-3\cdot 0-5=-5.
Portanto o ponto da curva é (0,-5).

Passo 3

Agora preciso do coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em x=0. Conceito rápido: o coeficiente angular da reta tangente num ponto x=a é a derivada f'(a). A derivada f'(x) representa a taxa de variação instantânea de f em relação a x; formalmente
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
mas em cálculos práticos usamos regras de derivação (mais simples e rápidas).

Passo 4

Vou derivar f(x)=2x^{2}-3x-5 termo a termo. Regras usadas (explicação curta):
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1} (regra da potência).
  • Derivada de c\cdot x é c.
  • Derivada de constante é 0.
Aplicando:
\frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x^{1}=4x,
\frac{d}{dx}(-3x)=-3,
\frac{d}{dx}(-5)=0.
Somando os termos,
f'(x)=4x-3.

Passo 5

Avalio a derivada no ponto x=0 para obter o coeficiente angular da tangente:
f'(0)=4\cdot 0-3=-3.
Logo a inclinação da reta tangente em (0,-5) é m_{\text{t}}=-3.

Passo 6

Equação da reta tangente: uso a forma ponto-inclinação (explicação): a equação da reta que passa por (x_{0},y_{0}) com inclinação m é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0})=(0,-5) e m=m_{\text{t}}=-3. Substituindo:
y-(-5)=-3(x-0).
Simplifico:
y+5=-3x \quad\Rightarrow\quad y=-3x-5.

Passo 7

Agora a reta normal: conceito e relação de inclinações. A reta normal em um ponto é a reta perpendicular à tangente nesse ponto. Para duas retas não verticais com inclinações m_{1} e m_{2}, elas são perpendiculares se, e somente se, m_{1}\cdot m_{2}=-1. Assim, o coeficiente angular da normal é
m_{\text{n}}=-\frac{1}{m_{\text{t}}}
desde que m_{\text{t}}\neq 0. Aqui m_{\text{t}}=-3\neq 0, então podemos aplicar.

Passo 8

Calculo a inclinação da normal:
m_{\text{n}}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}.

Passo 9

Escrevo a equação da reta normal usando novamente a forma ponto-inclinação, com (x_{0},y_{0})=(0,-5) e m=m_{\text{n}}=\tfrac{1}{3}:
y-(-5)=\frac{1}{3}(x-0).
Simplifico:
y+5=\frac{1}{3}x \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{3}x-5.

Resposta

Tangente: y=-3x-5
Normal: y=\dfrac{1}{3}x-5

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