Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto \left(90^{\circ}\right) com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto x=a a uma curva dada por y=f(x) o coeficiente angular é dado por f^{\prime}(a). Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando f^{\prime}(a) \neq 0 o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por \frac{-1}{f^{\prime}(a)}. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
f(x)=\frac{1}{x^{2}} no ponto x=4.

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por f(x)=\frac{1}{x^{2}} no ponto em que x=4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
  • O ponto de interesse tem abscissa x=4.
    O que precisamos encontrar:
  • A equação da reta tangente à curva no ponto (4,f(4)).
  • A equação da reta normal (reta perpendicular à tangente) naquele mesmo ponto.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados devagar como num amigo ajudando na prova):
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a y=f(x) no ponto x=a é dada por f'(a), ou seja, a derivada da função avaliada em a. Isso vem da definição de derivada como taxa de variação instantânea; na prática, em provas você usa essa regra direto.
  • Se a reta tangente tem coeficiente angular m\neq 0, então a reta normal (perpendicular) tem coeficiente angular -\dfrac{1}{m}. Isso é porque o produto das inclinações de retas perpendiculares é -1.
  • Para calcular f'(x) uso a regra do poder (power rule): se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. No caso de potências com expoente negativo funciona do mesmo jeito.
    Vou aplicar esses conceitos passo a passo à função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Reescrevendo a função em potência para aplicar a regra do poder:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Aplicando a regra do poder: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=-2, então
f'(x)=(-2)x^{-3}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Expliquei cada passo: transformei 1/x^{2} em x^{-2}, multipliquei o expoente por ele mesmo menos 1 e reescrevi no formato de fração.

Passo 4

Agora avalio a função e a derivada no ponto x=4. Primeiro o valor da função:
f(4)=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}.
Agora a derivada em 4:
f'(4)=-\frac{2}{4^{3}}=-\frac{2}{64}=-\frac{1}{32}.
Interpretação: a inclinação da tangente no ponto é m_{\text{tang}}=f'(4)=-\dfrac{1}{32}. É um declive negativo bem pequeno (reta pouco inclinada para baixo).

Passo 5

Equação da reta tangente — montando com a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é a inclinação. Aqui x_{0}=4, y_{0}=f(4)=\dfrac{1}{16} e m=f'(4)=-\dfrac{1}{32}. Substituindo:
y-\frac{1}{16}=-\frac{1}{32}\bigl(x-4\bigr).
Podemos colocar em forma explícita y=mx+b. Faço a distribuição e isolo y:
y=-\frac{1}{32}x+\frac{4}{32}+\frac{1}{16}.
Calculo os termos constantes com cuidado: \dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8} e \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{2}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}. Logo a forma reduzida é
y=-\frac{1}{32}x+\frac{3}{16}.
Resumo: equação da tangente em forma y=mx+b é y=-\dfrac{1}{32}x+\dfrac{3}{16}.

Passo 6

Equação da reta normal — primeiro a inclinação da normal. Se a tangente tem inclinação m_{\text{tang}}=f'(4)=-\dfrac{1}{32}, então a inclinação da normal é
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tang}}}=-\frac{1}{-\frac{1}{32}}=32.
Usando novamente a forma ponto-inclinação com (x_{0},y_{0})=(4,\tfrac{1}{16}) e m=32:
y-\frac{1}{16}=32\bigl(x-4\bigr).
Posso também escrever em forma y=mx+b. Faço a distribuição:
y=32x-128+\frac{1}{16}.
Junto os termos constantes: -128+\dfrac{1}{16}=-\dfrac{2048}{16}+\dfrac{1}{16}=-\dfrac{2047}{16}. Assim:
y=32x-\frac{2047}{16}.
Ambas as formas (ponto-inclinação ou forma explícita) são corretas; aqui apresentei a forma explícita.

Passo 7

Recapitulando de forma direta para você colar na prova sem erro:
  • Tangente no ponto (4,\tfrac{1}{16}): \;y-\dfrac{1}{16}=-\dfrac{1}{32}(x-4)\; ou \;y=-\dfrac{1}{32}x+\dfrac{3}{16}.
  • Normal no mesmo ponto: \;y-\dfrac{1}{16}=32(x-4)\; ou \;y=32x-\dfrac{2047}{16}.

Resposta

\text{Tangente: }y-\frac{1}{16}=-\frac{1}{32}(x-4)\quad\text{ou}\quad y=-\frac{1}{32}x+\frac{3}{16}
\text{Normal: }y-\frac{1}{16}=32(x-4)\quad\text{ou}\quad y=32x-\frac{2047}{16}

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