Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto
com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto
a uma curva dada por
o coeficiente angular é dado por
. Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando
o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por
. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por
no ponto em que
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de interesse tem abscissa
.
O que precisamos encontrar: - A equação da reta tangente à curva no ponto
. - A equação da reta normal (reta perpendicular à tangente) naquele mesmo ponto.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados devagar como num amigo ajudando na prova):
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a
no ponto é dada por , ou seja, a derivada da função avaliada em . Isso vem da definição de derivada como taxa de variação instantânea; na prática, em provas você usa essa regra direto. - Se a reta tangente tem coeficiente angular
, então a reta normal (perpendicular) tem coeficiente angular . Isso é porque o produto das inclinações de retas perpendiculares é . - Para calcular
uso a regra do poder (power rule): se então . No caso de potências com expoente negativo funciona do mesmo jeito.
Vou aplicar esses conceitos passo a passo à função.
Passo 3
Reescrevendo a função em potência para aplicar a regra do poder:
Aplicando a regra do poder: se
então
. Aqui
, então
Expliquei cada passo: transformei
em
, multipliquei o expoente por ele mesmo menos 1 e reescrevi no formato de fração.
Passo 4
Agora avalio a função e a derivada no ponto
. Primeiro o valor da função:
Agora a derivada em
:
Interpretação: a inclinação da tangente no ponto é
. É um declive negativo bem pequeno (reta pouco inclinada para baixo).
Passo 5
Equação da reta tangente — montando com a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação é
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação. Aqui
,
e
. Substituindo:
Podemos colocar em forma explícita
. Faço a distribuição e isolo
:
Calculo os termos constantes com cuidado:
e
. Logo a forma reduzida é
Resumo: equação da tangente em forma
é
.
Passo 6
Equação da reta normal — primeiro a inclinação da normal. Se a tangente tem inclinação
, então a inclinação da normal é
Usando novamente a forma ponto-inclinação com
e
:
Posso também escrever em forma
. Faço a distribuição:
Junto os termos constantes:
. Assim:
Ambas as formas (ponto-inclinação ou forma explícita) são corretas; aqui apresentei a forma explícita.
Passo 7
Recapitulando de forma direta para você colar na prova sem erro:
- Tangente no ponto
: ou - Normal no mesmo ponto:
ou