Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto
com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto
a uma curva dada por
o coeficiente angular é dado por
. Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando
o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por
. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva dada por
no ponto correspondente a
. Informações fornecidas que vamos usar:
- A função é
. - O ponto de interesse tem abscissa
, então a ordenada no ponto é . - A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é . - A inclinação da reta normal é o negativo do recíproco da inclinação da tangente, isto é
.
Passo 2
Calcular a coordenada do ponto na curva em
. A ordenada é
Portanto o ponto da curva é
.
Passo 3
Encontrar a derivada de
. Uma propriedade fundamental do exponencial é que a derivada de
é ela própria:
Isto decorre da definição do exponencial e da regra do limite, mas aqui basta lembrar essa propriedade padrão: a função exponencial é igual à sua própria derivada.
Passo 4
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Logo a reta tangente em
tem coeficiente angular
.
Passo 5
Recordando a fórmula da reta a partir de um ponto
e inclinação
: a forma ponto-inclinação é
Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula da reta para obter a equação da tangente:
Agora fazemos as contas passo a passo:
Podemos também escrever de forma factorizada:
Essa é a equação da reta tangente no ponto pedido.
Passo 7
Agora a reta normal. A inclinação da normal é o negativo do recíproco da inclinação da tangente. Como
, então
Passo 8
Usamos novamente a forma ponto-inclinação com
e
:
Para deixar sem fração multiplicamos ambos os lados por
e simplificamos passo a passo:
Se preferir isolar
,
Outra forma equivalente, expandindo, é
Qualquer uma dessas formas representa a reta normal.