Reta normal Uma reta normal a outra reta é aquela que faz ângulo reto \left(90^{\circ}\right) com a primeira. Se considerarmos a reta tangente num ponto x=a a uma curva dada por y=f(x) o coeficiente angular é dado por f^{\prime}(a). Quando a reta tangente não é horizontal, isto é, quando f^{\prime}(a) \neq 0 o coeficiente angular da reta normal nesse ponto é dado por \frac{-1}{f^{\prime}(a)}. Encontre a equação da reta tangente e normal às curvas das funções nos pontos indicados:
f(x)=e^{x} no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva dada por f(x)=e^{x} no ponto correspondente a x=2. Informações fornecidas que vamos usar:
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • O ponto de interesse tem abscissa x=2, então a ordenada no ponto é f(2).
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=a é f'(a).
  • A inclinação da reta normal é o negativo do recíproco da inclinação da tangente, isto é -1/f'(a).

Passo 2

Calcular a coordenada do ponto na curva em x=2. A ordenada é
f(2)=e^{2}.
Portanto o ponto da curva é \bigl(2,\;e^{2}\bigr).

Passo 3

Encontrar a derivada de f(x)=e^{x}. Uma propriedade fundamental do exponencial é que a derivada de e^{x} é ela própria:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto decorre da definição do exponencial e da regra do limite, mas aqui basta lembrar essa propriedade padrão: a função exponencial é igual à sua própria derivada.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=2 para obter a inclinação da tangente:
f'(2)=e^{2}.
Logo a reta tangente em x=2 tem coeficiente angular m_{\text{t}}=e^{2}.

Passo 5

Recordando a fórmula da reta a partir de um ponto (x_{0},y_{0}) e inclinação m: a forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Vamos aplicar essa fórmula com (x_{0},y_{0})=(2,e^{2}) e m=m_{\text{t}}=e^{2}.

Passo 6

Substituindo na fórmula da reta para obter a equação da tangente:
y-e^{2}=e^{2}\,(x-2).
Agora fazemos as contas passo a passo:
y-e^{2}=e^{2}x-2e^{2},
y=e^{2}x-2e^{2}+e^{2},
y=e^{2}x-e^{2}.
Podemos também escrever de forma factorizada:
y=e^{2}\,(x-1).
Essa é a equação da reta tangente no ponto pedido.

Passo 7

Agora a reta normal. A inclinação da normal é o negativo do recíproco da inclinação da tangente. Como m_{\text{t}}=e^{2}, então
m_{\text{n}}=-\frac{1}{e^{2}}.

Passo 8

Usamos novamente a forma ponto-inclinação com (x_{0},y_{0})=(2,e^{2}) e m=m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{e^{2}}:
y-e^{2}=-\frac{1}{e^{2}}(x-2).
Para deixar sem fração multiplicamos ambos os lados por e^{2} e simplificamos passo a passo:
e^{2}(y-e^{2})=-(x-2),
e^{2}y-e^{4}=-x+2,
e^{2}y + x = 2 + e^{4}.
Se preferir isolar y,
y=\frac{-x+2+e^{4}}{e^{2}}.
Outra forma equivalente, expandindo, é
y=-\frac{x}{e^{2}}+\frac{2}{e^{2}}+e^{2}.
Qualquer uma dessas formas representa a reta normal.

Resposta

\text{Reta tangente: } y=e^{2}x-e^{2}
\text{Reta normal: } y-e^{2}=-\dfrac{1}{e^{2}}(x-2)

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