Uma reta L passa pelo ponto de interseção de L_{1}: 2 x-3 y=5 e L_{2}: x+2 y-13=0. Obtenha a equação de L se a abscissa do ponto de interseção de L com o eixo X for igual ao dobro da sua inclinação.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas:
L_{1}: 2x-3y=5
L_{2}: x+2y-13=0
e diz que a reta L passa pelo ponto de interseção de L_{1} e L_{2}. Além disso, pede a equação de L sabendo que a abscissa do ponto de interseção de L com o eixo X (isto é, o valor de x quando y=0) é igual ao dobro da sua inclinação. Ou seja, as perguntas são:
  • Qual(is) a(s) equação(ões) da reta L que satisfaz(em) as condições acima?
    As informações relevantes fornecidas são:
  • As duas equações de L_{1} e L_{2} (acima).
  • A reta L passa pelo ponto de interseção de L_{1} e L_{2}.
  • Se m é a inclinação (coeficiente angular) de L, então a abscissa do ponto onde L corta o eixo X vale 2m.

Passo 2

Escolhemos representar a reta L na forma angular (forma reduzida):
y = m x + b,
onde m é a inclinação (coeficiente angular) e b é o coeficiente linear (intercepto em y). Explicando isso com calma:
  • A inclinação m diz quanto y varia quando x aumenta em 1.
  • O coeficiente b é o valor de y quando x=0 (interseção com o eixo Y).
Para achar a abscissa (coordenada x) do ponto em que a reta corta o eixo X basta pôr y=0 na equação e resolver para x. Fazendo isso:
0 = m x + b \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{b}{m},
desde que m\neq 0. O enunciado diz que essa abscissa vale 2m, logo temos a condição
-\dfrac{b}{m} = 2m.
Multiplicando ambos os lados por m obtemos
b = -2m^{2}.
Essa é a relação entre b e m imposta pela condição da abscissa.

Passo 3

Agora vamos encontrar o ponto P\) de interseção de \(L_{1}\) e \(L_{2}\), que a reta \(L\) deve conter. Resolvemos o sistema \[\begin{cases} 2x-3y=5,\\[4pt] x+2y-13=0. \end{cases}
Usamos substituição: da segunda equação isolamos x\]: \[x = 13-2y.\] Substituímos na primeira: \[2(13-2y)-3y=5.\] Calculando: \[26-4y-3y=5 \quad\Rightarrow\quad 26-7y=5 \quad\Rightarrow\quad -7y=-21 \quad\Rightarrow\quad y=3.\] Com \(y=3 voltamos em x=13-2y:
x=13-2\cdot 3 = 13-6 = 7.
Portanto o ponto de interseção é P=(7,3).]

Passo 4

Como a reta L passa por P=(7,3), sua equação y=mx+b deve satisfazer
3 = m\cdot 7 + b.
Dessa relação isolamos b:
b = 3 - 7m.
Mas no Passo 2 obtivemos também b = -2m^{2}. Igualando as duas expressões para b temos:
3 - 7m = -2m^{2}.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
2m^{2} -7m + 3 = 0.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
2m^{2} -7m + 3 = 0.
Tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja 2\cdot 3=6 e cuja soma seja -7. Esses números são -1 e -6, então podemos escrever
2m^{2}-7m+3 = 2m^{2}-m-6m+3 = m(2m-1)-3(2m-1)=(2m-1)(m-3).
Assim as raízes são dadas por
2m-1=0 \Rightarrow m=\tfrac{1}{2},\qquad m-3=0 \Rightarrow m=3.

Passo 6

Para cada valor de m calculamos b usando b=-2m^{2} (ou b=3-7m, dá o mesmo).
  • Se m=3, então
b = -2\cdot 3^{2} = -18.
A equação da reta é
y = 3x - 18.
Podemos escrever em forma geral:
3x - y - 18 = 0.
  • Se m=\tfrac{1}{2}, então
b = -2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = -2\cdot \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{2}.
A equação da reta é
y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}.
Multiplicando por 2 para eliminar frações:
x - 2y - 1 = 0.

Passo 7

Fazemos checagens rápidas (é sempre bom, dá segurança na prova):
  • Para y=3x-18: abscissa do corte com o eixo X é x=-\dfrac{b}{m}=-\dfrac{-18}{3}=6. O dobro da inclinação é 2m=2\cdot 3=6. Condição satisfeita. E o ponto P(7,3): 3=3\cdot 7-18=21-18=3, ok.
  • Para y=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}: abscissa do corte é x=-\dfrac{b}{m}=-\dfrac{-1/2}{1/2}=1. O dobro da inclinação é 2m=2\cdot \tfrac{1}{2}=1. Condição satisfeita. E P(7,3): 3=\tfrac{1}{2}\cdot 7 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{7-1}{2}=\tfrac{6}{2}=3, ok.

Resposta

y=3x-18
y=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}

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