Uma reta
passa pelo ponto de interseção de
e
. Obtenha a equação de
se a abscissa do ponto de interseção de
com o eixo
for igual ao dobro da sua inclinação.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas:
e diz que a reta
passa pelo ponto de interseção de
e
. Além disso, pede a equação de
sabendo que a abscissa do ponto de interseção de
com o eixo
(isto é, o valor de
quando
) é igual ao dobro da sua inclinação. Ou seja, as perguntas são:
- Qual(is) a(s) equação(ões) da reta
que satisfaz(em) as condições acima?
As informações relevantes fornecidas são: - As duas equações de
e (acima). - A reta
passa pelo ponto de interseção de e . - Se
é a inclinação (coeficiente angular) de , então a abscissa do ponto onde corta o eixo vale .
Passo 2
Escolhemos representar a reta
na forma angular (forma reduzida):
onde
é a inclinação (coeficiente angular) e
é o coeficiente linear (intercepto em
). Explicando isso com calma:
- A inclinação
diz quanto varia quando aumenta em . - O coeficiente
é o valor de quando (interseção com o eixo ).
Para achar a abscissa (coordenada
) do ponto em que a reta corta o eixo
basta pôr
na equação e resolver para
. Fazendo isso:
desde que
. O enunciado diz que essa abscissa vale
, logo temos a condição
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Essa é a relação entre
e
imposta pela condição da abscissa.
Passo 3
Agora vamos encontrar o ponto
Usamos substituição: da segunda equação isolamos
voltamos em
:
Portanto o ponto de interseção é
.]
Passo 4
Como a reta
passa por
, sua equação
deve satisfazer
Dessa relação isolamos
:
Mas no Passo 2 obtivemos também
. Igualando as duas expressões para
temos:
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
Tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, então podemos escrever
Assim as raízes são dadas por
Passo 6
Para cada valor de
calculamos
usando
(ou
, dá o mesmo).
- Se
, então
A equação da reta é
Podemos escrever em forma geral:
- Se
, então
A equação da reta é
Multiplicando por
para eliminar frações:
Passo 7
Fazemos checagens rápidas (é sempre bom, dá segurança na prova):
- Para
: abscissa do corte com o eixo é . O dobro da inclinação é . Condição satisfeita. E o ponto : , ok. - Para
: abscissa do corte é . O dobro da inclinação é . Condição satisfeita. E : , ok.