Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=2 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}=k \end{array}\right.
Determine os valores de h e k tais que o sistema tenha
(i) nenhuma solução
(ii) uma única solução
(iii) muitas soluções
Necessária a entrega com todos os cálculos - Valendo 1,0 ponto para ser somada a 1{ }^{\underline{\mathrm{a}}} VA

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com dois incógnitos x_{1} e x_{2} e dois parâmetros h e k:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+h x_{2}=2,\\[4pt] 3 x_{1}-2 x_{2}=k. \end{array}\right.
O que nos pedem é determinar os valores de h e k tais que o sistema tenha:
(i) nenhuma solução;
(ii) uma única solução;
(iii) muitas (infinitas) soluções.]

Passo 2

Ideia principal (sem calcular ainda): para um sistema linear 2\times2 com matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & h \\[2pt] 3 & -2\end{pmatrix},
o determinante de A decide a existência/unicidade:
  • Se \det(A)\neq0 então há uma única solução (matriz invertível).
  • Se \det(A)=0 então as equações são linearmente dependentes e podemos ter ou nenhuma solução (inconsistente) ou infinitas soluções (equações equivalentes). Para distinguir esses dois subcasos com \det(A)=0 comparamos as equações (ou as matrizes ampliadas).
Vou calcular \det(A), usar Cramer quando \det(A)\neq0 para mostrar a solução; e quando \det(A)=0 vou verificar a consistência relacionando as duas equações.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
\det(A)=\begin{vmatrix}1 & h \\[2pt] 3 & -2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-3\cdot h=-2-3h.
Reescrevendo:
\det(A)=-(2+3h).
Logo \det(A)\neq0 exatamente quando 2+3h\neq0, isto é,
h\neq -\tfrac{2}{3}.
Esse é o caso em que teremos uma única solução (explico e calculo abaixo).]

Passo 4

Caso \det(A)\neq0 (ou seja h\neq -\tfrac{2}{3}): uso a regra de Cramer para obter explicitamente x_{1} e x_{2}. Primeiro o determinante principal já é D=\det(A)=-2-3h.
Determinante para x_{1} (substitui primeira coluna pelos termos constantes (2,k)):
D_{1}=\begin{vmatrix}2 & h \\[2pt] k & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-k\cdot h=-4-kh.
Determinante para x_{2} (substitui segunda coluna pelos termos constantes (2,k)):
D_{2}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[2pt] 3 & k\end{vmatrix}=1\cdot k-3\cdot 2=k-6.
Pela regra de Cramer:
x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{-4-kh}{-2-3h},\qquad x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{k-6}{-2-3h},
válido sempre que h\neq -\tfrac{2}{3}. Conclusão: para qualquer k e qualquer h com h\neq -\tfrac{2}{3} o sistema tem exatamente uma solução dada pelas expressões acima.]

Passo 5

Agora o caso \det(A)=0, ou seja h=-\tfrac{2}{3}. Substituindo h=-\tfrac{2}{3} na primeira equação:
x_{1}-\tfrac{2}{3}x_{2}=2.
Multiplico essa equação por 3 para evitar frações:
3x_{1}-2x_{2}=6.
A segunda equação do sistema é
3x_{1}-2x_{2}=k.
Portanto, quando h=-\tfrac{2}{3} as duas equações têm o mesmo lado esquerdo 3x_{1}-2x_{2}. Então:
  • Se k\neq6 então a segunda equação exige 3x_{1}-2x_{2}=k enquanto a primeira exige 3x_{1}-2x_{2}=6. São duas equações incompatíveis (mesmo lado esquerdo, constantes diferentes) → sistema inconsistente → nenhuma solução.
  • Se k=6 então as duas equações coincidem exatamente (mesma equação repetida). Isso significa que temos apenas uma equação efetiva para duas incógnitas → infinitas soluções (um parâmetro livre). Por exemplo, escrevendo 3x_{1}-2x_{2}=6 isolamos x_{1}:
x_{1}=2+\tfrac{2}{3}x_{2},
e x_{2} pode ser qualquer número real; cada escolha dá um par (x_{1},x_{2}) solução.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • Para h\neq -\tfrac{2}{3}: \det(A)\neq0 e o sistema tem uma única solução dada por
x_{1}=\frac{-4-kh}{-2-3h},\qquad x_{2}=\frac{k-6}{-2-3h}.
  • Para h=-\tfrac{2}{3} e k\neq6: sistema inconsistente → nenhuma solução.
  • Para h=-\tfrac{2}{3} e k=6: as duas equações são iguais → infinitas (muitas) soluções.

Resposta

(i) h=-\tfrac{2}{3},\\ k\neq6 (nenhuma solução)
(ii) h\neq -\tfrac{2}{3} (qualquer k) (uma única solução)
(iii) h=-\tfrac{2}{3},\\ k=6 (muitas soluções)

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