O que nos pedem é determinar os valores de h e k tais que o sistema tenha:
(i) nenhuma solução;
(ii) uma única solução;
(iii) muitas (infinitas) soluções.]
Passo 2
Ideia principal (sem calcular ainda): para um sistema linear 2\times2 com matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & h \\[2pt] 3 & -2\end{pmatrix},
o determinante de A decide a existência/unicidade:
Se \det(A)\neq0 então há uma única solução (matriz invertível).
Se \det(A)=0 então as equações são linearmente dependentes e podemos ter ou nenhuma solução (inconsistente) ou infinitas soluções (equações equivalentes). Para distinguir esses dois subcasos com \det(A)=0 comparamos as equações (ou as matrizes ampliadas).
Vou calcular \det(A), usar Cramer quando \det(A)\neq0 para mostrar a solução; e quando \det(A)=0 vou verificar a consistência relacionando as duas equações.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
\det(A)=\begin{vmatrix}1 & h \\[2pt] 3 & -2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-3\cdot h=-2-3h.
Reescrevendo:
\det(A)=-(2+3h).
Logo \det(A)\neq0 exatamente quando 2+3h\neq0, isto é,
h\neq -\tfrac{2}{3}.
Esse é o caso em que teremos uma única solução (explico e calculo abaixo).]
Passo 4
Caso \det(A)\neq0 (ou seja h\neq -\tfrac{2}{3}): uso a regra de Cramer para obter explicitamente x_{1} e x_{2}. Primeiro o determinante principal já é D=\det(A)=-2-3h.
Determinante para x_{1} (substitui primeira coluna pelos termos constantes (2,k)):
D_{1}=\begin{vmatrix}2 & h \\[2pt] k & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-k\cdot h=-4-kh.
Determinante para x_{2} (substitui segunda coluna pelos termos constantes (2,k)):
válido sempre que h\neq -\tfrac{2}{3}. Conclusão: para qualquer k e qualquer h com h\neq -\tfrac{2}{3} o sistema tem exatamente uma solução dada pelas expressões acima.]
Passo 5
Agora o caso \det(A)=0, ou seja h=-\tfrac{2}{3}. Substituindo h=-\tfrac{2}{3} na primeira equação:
x_{1}-\tfrac{2}{3}x_{2}=2.
Multiplico essa equação por 3 para evitar frações:
3x_{1}-2x_{2}=6.
A segunda equação do sistema é
3x_{1}-2x_{2}=k.
Portanto, quando h=-\tfrac{2}{3} as duas equações têm o mesmo lado esquerdo 3x_{1}-2x_{2}. Então:
Se k\neq6 então a segunda equação exige 3x_{1}-2x_{2}=k enquanto a primeira exige 3x_{1}-2x_{2}=6. São duas equações incompatíveis (mesmo lado esquerdo, constantes diferentes) → sistema inconsistente → nenhuma solução.
Se k=6 então as duas equações coincidem exatamente (mesma equação repetida). Isso significa que temos apenas uma equação efetiva para duas incógnitas → infinitas soluções (um parâmetro livre). Por exemplo, escrevendo 3x_{1}-2x_{2}=6 isolamos x_{1}:
x_{1}=2+\tfrac{2}{3}x_{2},
e x_{2} pode ser qualquer número real; cada escolha dá um par (x_{1},x_{2}) solução.
Passo 6
Resumo das conclusões:
Para h\neq -\tfrac{2}{3}: \det(A)\neq0 e o sistema tem uma única solução dada por