Em cada um dos casos a seguir, obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e A^{\prime}. Também determine os pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados.
(b) A=(-3,-3), \quad A^{\prime}=(5,5)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede (dados retirados do enunciado):
  • Pontos fornecidos: A=(-3,-3) e A'=(5,5).
  • O enunciado pede:
    1. Obter a equação da reta que passa por A e A'.
    2. Determinar os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados (eixo x e eixo y).

Passo 2

Vamos usar a fórmula da inclinação (coeficiente angular) de uma reta que passa por dois pontos. Explicando com calma:
  • Se temos dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a inclinação (ou coeficiente angular) m é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m representa quanto a reta sobe (variação em y) quando avançamos uma unidade em x (variação em x). Aplicando aos nossos pontos, escolha (x_1,y_1)=(-3,-3) e (x_2,y_2)=(5,5). Calculamos:
m=\frac{5-(-3)}{5-(-3)}=\frac{8}{8}=1.
Portanto a inclinação da reta é \,m=1.

Passo 3

Com m=1 podemos usar a forma ponto-ângulo (forma ponto-inclinação) da equação da reta: se a reta tem inclinação m e passa por (x_0,y_0), então
y-y_0=m(x-x_0).
Escolhendo o ponto A=(-3,-3) como (x_0,y_0) e substituindo m=1, obtemos
y-(-3)=1\bigl(x-(-3)\bigr).
Agora simplifico passo a passo, sem pular:
y+3 = x+3.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
y = x.
Essa é a forma simplificada e bem conhecida (reta de inclinação 1 que passa pela origem).

Passo 4

Agora determinamos interseções com os eixos. Lembrete rápido:
  • Interseção com o eixo x ocorre quando y=0.
  • Interseção com o eixo y ocorre quando x=0.
Calcule a interseção com o eixo x: impondo y=0 na equação \,y=x,
0=x \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto o ponto de interseção com o eixo x é (0,0).
Calcule a interseção com o eixo y: impondo x=0 na equação \,y=x,
y=0.
Portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,0).

Passo 5

Observação final (útil para a prova): quando a equação da reta fica y=x, isso significa que a reta passa pela origem e tem inclinação 1. Logo ambos interceptos com os eixos coincidem no ponto (0,0). Se fosse uma reta do tipo y=x+b com b\neq0, os interceptos com os eixos seriam diferentes.

Resposta

Equação da reta: y=x
Interseção com o eixo x: (0,0)
Interseção com o eixo y: (0,0)

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