Uma reta r é determinada pelo ponto A=(1,3,-1) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,5,7).
Encontre as equações reduzidas de r na variável x, caso exista.

Passo 1

O enunciado pede as equações reduzidas da reta r em função de x. O conteúdo é geometria analítica no espaço: uma reta em \mathbb{R}^3 é dada por um ponto A=(1,3,-1) e um vetor diretor \vec v=(3,5,7). Para obter as equações reduzidas na variável x, usaremos a forma paramétrica da reta e, em seguida, inverteremos para expressar y e z em função de x.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma paramétrica de r. Se t é o parâmetro:
x = 1 + 3t,\quad y = 3 + 5t,\quad z = -1 + 7t.

Passo 3

Para obter equações em que x é a variável independente, precisamos que a componente em x do vetor diretor seja não nula. Aqui \vec v_x = 3 \neq 0, logo podemos resolver para t.
Isolamos t na primeira equação:
x = 1 + 3t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{x - 1}{3}.

Passo 4

Substituímos t = \tfrac{x-1}{3} nas expressões de y e z:
y = 3 + 5\biggl(\frac{x-1}{3}\biggr) = 3 + \frac{5x - 5}{3} = \frac{5x + 4}{3},
z = -1 + 7\biggl(\frac{x-1}{3}\biggr) = -1 + \frac{7x - 7}{3} = \frac{7x - 10}{3}.

Resposta

As equações reduzidas da reta r na variável x são
y = \frac{5x + 4}{3}, \qquad z = \frac{7x - 10}{3}.

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