Questão 5. Uma reta r é determinada pelos pontos A=(1,1,3) e B=(3,5,7).
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos
A=(1,1,3),\quad B=(3,5,7)
e pede quatro representações da reta r determinada por esses pontos: equação vetorial, equações paramétricas, equações simétricas e equações reduzidas. Para isso, vamos precisar do vetor diretor \overrightarrow{AB} e da fórmula da reta em cada caso.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor diretor
\overrightarrow{AB}=B - A = (3-1,\;5-1,\;7-3) = (2,4,4).
(a) A equação vetorial da reta r é
\mathbf{r}(t)=\bigl(1,1,3\bigr)+t\,(2,4,4),\quad t\in\mathbb{R}.
(b) Das coordenadas dessa equação vetorial obtemos as equações paramétricas
x=1+2t,\qquad y=1+4t,\qquad z=3+4t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

(c) Para obter as equações simétricas, isolamos t em cada parâmetro, supondo que os coeficientes não sejam zero:
t=\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{4}.

Passo 4

(d) Nas equações reduzidas expressamos duas variáveis em função da terceira (por exemplo, x):
Da paramétrica x=1+2t segue t=\frac{x-1}{2}. Substituindo em y e z:
y=1+4\cdot\frac{x-1}{2}=2x-1, \qquad z=3+4\cdot\frac{x-1}{2}=2x+1.
Logo as equações reduzidas são
y=2x-1, \qquad z=2x+1.

Resposta

(a) \mathbf{r}(t)=(1,1,3)+t\,(2,4,4).
(b) x=1+2t,\;y=1+4t,\;z=3+4t.
(c) \displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{4}.
(d) y=2x-1,\;z=2x+1.

Exercícios relacionados