Uma reta r é determinada pelo ponto A=(1,3,-1) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,5,7).
Encontre as equações reduzidas de r na variável y, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A=(1,3,-1) e tem vetor diretor \vec v=(3,5,7). Precisamos escrever as equações reduzidas de r na variável y, isto é, expressar x e z como funções de y, sempre que for possível.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as equações paramétricas de r usando um parâmetro t:
\begin{cases} x = 1 + 3\,t,\\\ y = 3 + 5\,t,\\\ z = -1 + 7\,t. \end{cases}

Passo 3

Como o coeficiente de t em y é 5\neq0, podemos resolver para t em função de y:
t = \frac{y - 3}{5}.
Substituindo esse valor em x e em z, obtemos
x = 1 + 3\;\frac{y - 3}{5} = \frac{5 + 3(y - 3)}{5} = \frac{3y - 4}{5},
z = -1 + 7\;\frac{y - 3}{5} = \frac{-5 + 7(y - 3)}{5} = \frac{7y - 26}{5}.

Resposta

x = \dfrac{3y - 4}{5} z = \dfrac{7y - 26}{5}

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