A reta r passa pelo ponto \mathrm{A}(5,-3,2) e é paralela à reta
s:\left\{\begin{array}{l} x=1-3 t \\\ y=2 t, \quad t \in \mathbf{R} \\\ z=4-t \end{array}\right.
Se P(a, b,-3) \in r, determine os valores de a e b.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A reta r\) passa pelo ponto \(A(5,-3,2)\).
- A reta \(s\) é dada por
\[\begin{cases} x=1-3t\\[4pt] y=2t, \quad t\in\mathbf{R}\\[4pt] z=4-t \end{cases}
O ponto P(a,b,-3)\] pertence à reta \(r.
O que o problema pede:
Determinar os valores de a e b de modo que P(a,b,-3)\in r.]
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo, sem pressa): uma reta no espaço pode ser escrita em forma paramétrica a partir de um ponto inicial e de um vetor diretor. Se um ponto qualquer da reta é \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)\) e um vetor diretor é \(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\), então a reta tem a representação
\[\begin{cases} x = x_0 + v_x\,u\\[4pt] y = y_0 + v_y\,u\\[4pt] z = z_0 + v_z\,u \end{cases}\quad u\in\mathbf{R},
onde u\] é o parâmetro. Aqui:
- \(\vec{r_0} é o ponto por onde a reta passa (cada coordenada escrita em TeX),
- \vec{v} indica a direção da reta (cada componente do vetor em TeX),
- u é só um número real que varre a reta.]
Passo 3
Extração do vetor diretor da reta s. A forma dada de s,
x=1-3t,\qquad y=2t,\qquad z=4-t,
pode ser vista como o ponto (1,0,4) mais t vezes o vetor (-3,2,-1). Ou seja, o vetor diretor de s é
\vec{v}=(-3,2,-1).
Como r é paralela a s, o vetor diretor de r pode ser escolhido igual a \vec{v}=(-3,2,-1).
Passo 4
Escrever a equação paramétrica da reta r\) usando o ponto \(A(5,-3,2)\) e o vetor diretor \(\vec{v}=(-3,2,-1)\). Tomando um parâmetro \(u\) para \(r\), obtemos
\[\begin{cases} x=5-3u\\[4pt] y=-3+2u\\[4pt] z=2-u \end{cases}\quad u\in\mathbf{R}.
Interpretação: ao variar u\] por todos os reais, as três coordenadas acima geram todos os pontos da reta \(r.]
Passo 5
Usar a condição P(a,b,-3)\in r. Isso significa que existem valores de u, a e b que satisfazem as três equações paramétricas simultaneamente. Podemos começar pela coordenada z, que é simples:
2-u = -3.
Resolvendo para u:
u = 2 - (-3) = 5.
Agora substituímos u=5 nas equações de x e y para obter a e b: