Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que é ortogonal ao plano OYZ e passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede quatro representações da reta que é ortogonal ao plano OYZ e passa pelo ponto
. Então, preciso devolver:
- a equação vetorial da reta;
- as equações paramétricas da reta;
- as equações simétricas da reta;
- as equações reduzidas (sem parâmetro) da reta.
Informações dadas no enunciado:
- Ponto por onde a reta passa:
. - A reta é ortogonal ao plano OYZ (plano determinado pelos pontos
, eixo e eixo ).
Passo 2
Entender o plano OYZ e encontrar o vetor normal ao plano.
Explicação didática: o plano OYZ é o plano que contém o eixo
e o eixo
e também a origem
. Todo ponto desse plano tem coordenada
(porque no eixo
os pontos são
e no eixo
são
; combinar estes mostra que o plano é o plano dos pontos
). Logo, a equação cartesiana do plano OYZ é
Para qualquer plano escrito como
, o vetor normal é
. No caso do plano OYZ (equação
) os coeficientes são
. Portanto um vetor normal ao plano OYZ é
Como a reta pedida é ortogonal ao plano, a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor diretor da reta pode ser escolhido como
Passo 3
Construir a equação vetorial da reta usando o ponto
e o vetor diretor
.
Explicação didática: a equação vetorial de uma reta que passa por um ponto com posição vetor
e tem vetor diretor
é
onde
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta e
é o parâmetro.
Aqui
é o vetor posição do ponto
:
Com
, a equação vetorial fica
Passo 4
Obter as equações paramétricas a partir da equação vetorial.
Explicação didática: da igualdade vetor a vetor obtemos componente a componente:
Portanto as equações paramétricas são
Comentário prático: isso significa que, ao variar
, apenas a coordenada
muda;
e
ficam constantes, o que descreve uma reta paralela ao eixo
passando por
.
Passo 5
Escrever as equações simétricas e explicar o cuidado com componentes nulas.
Explicação didática: a forma simétrica típica para uma reta é
onde
são as componentes do vetor diretor. No nosso caso
. Substituindo:
Mas divisão por zero não é permitida; a interpretação correta quando uma componente do vetor diretor é zero é que a coordenada correspondente é constante ao longo da reta. Assim, as igualdades com denominador zero se traduzem em:
enquanto a igualdade com denominador
dá
Uma forma simétrica apropriada, que evita divisões por zero, é então expressa como
ou indicando explicitamente que as frações com denominador zero implicam equações constantes:
Passo 6
Apresentar as equações reduzidas (sem parâmetro) — ou seja, sistema de equações que descreve a reta sem usar parâmetro.
Explicação didática: como a reta tem
e
constantes (
e
) e
livre, a reta pode ser descrita pelo sistema de duas equações cartesianas
Isto mostra que a reta é a interseção dos planos
e
(o conjunto de todos os pontos com essas duas coordenadas fixas), e
pode variar livremente.