Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que é ortogonal ao plano OYZ e passa pelo ponto \mathrm{B}(3,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede quatro representações da reta que é ortogonal ao plano OYZ e passa pelo ponto B(3,0,-1). Então, preciso devolver:
  • a equação vetorial da reta;
  • as equações paramétricas da reta;
  • as equações simétricas da reta;
  • as equações reduzidas (sem parâmetro) da reta.
Informações dadas no enunciado:
  • Ponto por onde a reta passa: B(3,0,-1).
  • A reta é ortogonal ao plano OYZ (plano determinado pelos pontos O=(0,0,0), eixo Y e eixo Z).

Passo 2

Entender o plano OYZ e encontrar o vetor normal ao plano.
Explicação didática: o plano OYZ é o plano que contém o eixo Y e o eixo Z e também a origem O. Todo ponto desse plano tem coordenada x=0 (porque no eixo Y os pontos são (0,y,0) e no eixo Z são (0,0,z); combinar estes mostra que o plano é o plano dos pontos (0,y,z)). Logo, a equação cartesiana do plano OYZ é
x = 0.
Para qualquer plano escrito como \,ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c). No caso do plano OYZ (equação x=0) os coeficientes são a=1,b=0,c=0. Portanto um vetor normal ao plano OYZ é
\mathbf{n} = (1,0,0).
Como a reta pedida é ortogonal ao plano, a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor diretor da reta pode ser escolhido como
\mathbf{v} = (1,0,0).

Passo 3

Construir a equação vetorial da reta usando o ponto B e o vetor diretor \mathbf{v}.
Explicação didática: a equação vetorial de uma reta que passa por um ponto com posição vetor \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},\quad t\in\mathbb{R},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta e t é o parâmetro.
Aqui \mathbf{r}_0 é o vetor posição do ponto B:
\mathbf{r}_0 = (3,0,-1).
Com \mathbf{v}=(1,0,0), a equação vetorial fica
\mathbf{r}(t) = (3,0,-1) + t\,(1,0,0).

Passo 4

Obter as equações paramétricas a partir da equação vetorial.
Explicação didática: da igualdade vetor a vetor obtemos componente a componente:
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (3+t,\;0+0\cdot t,\;-1+0\cdot t).
Portanto as equações paramétricas são
x = 3 + t,\qquad y = 0,\qquad z = -1,\qquad t\in\mathbb{R}.
Comentário prático: isso significa que, ao variar t, apenas a coordenada x muda; y e z ficam constantes, o que descreve uma reta paralela ao eixo X passando por B.

Passo 5

Escrever as equações simétricas e explicar o cuidado com componentes nulas.
Explicação didática: a forma simétrica típica para uma reta é
\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z},
onde (v_x,v_y,v_z) são as componentes do vetor diretor. No nosso caso (v_x,v_y,v_z)=(1,0,0). Substituindo:
\frac{x-3}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z+1}{0}.
Mas divisão por zero não é permitida; a interpretação correta quando uma componente do vetor diretor é zero é que a coordenada correspondente é constante ao longo da reta. Assim, as igualdades com denominador zero se traduzem em:
y=0,\qquad z=-1,
enquanto a igualdade com denominador 1
\frac{x-3}{1} \text{ (igual ao parâmetro) } \quad\Leftrightarrow\quad x-3=t.â
Uma forma simétrica apropriada, que evita divisões por zero, é então expressa como
\frac{x-3}{1}=t,\qquad y=0,\qquad z=-1,
ou indicando explicitamente que as frações com denominador zero implicam equações constantes:
\frac{x-3}{1}=\text{(livre)},\qquad y=0,\qquad z=-1.

Passo 6

Apresentar as equações reduzidas (sem parâmetro) — ou seja, sistema de equações que descreve a reta sem usar parâmetro.
Explicação didática: como a reta tem y e z constantes ( y=0 e z=-1) e x livre, a reta pode ser descrita pelo sistema de duas equações cartesianas
y = 0,\qquad z = -1.
Isto mostra que a reta é a interseção dos planos y=0 e z=-1 (o conjunto de todos os pontos com essas duas coordenadas fixas), e x pode variar livremente.

Resposta

\text{Equação vetorial: }\quad \mathbf{r}(t)= (3,0,-1)+t\,(1,0,0),\quad t\in\mathbb{R}.çã
\text{Equações paramétricas: }\quad x=3+t,\quad y=0,\quad z=-1,\quad t\in\mathbb{R}.çõé
\text{Equações simétricas (interpretando denom. zero): }\quad \frac{x-3}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z+1}{0}\quad\Longrightarrow\quad y=0,\; z=-1.çõé
\text{Equações reduzidas: }\quad y=0,\quad z=-1.çõ

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