A reta
3 x+4 y-6=0
determina na circunferência
x^2+y^2-2 x-4 y+1=0
uma corda de comprimento igual a L. Determine L^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma reta 3x + 4y - 6 = 0 que intersecta uma circunferência dada pela equação x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0. Essa interseção forma uma corda na circunferência, e queremos encontrar o quadrado do comprimento dessa corda, ou seja, L^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a determinação do centro e raio da circunferência e a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro e o raio da circunferência. A equação geral da circunferência é:
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
Onde:
  • O centro C é (-g, -f)
  • O raio r é raizg^2 + f^2 - c
Comparando com a equação dada:
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0
Identificamos:
  • 2g = -2 então g = -1
  • 2f = -4 então f = -2
  • c = 1
Portanto, o centro C é (1, 2) e o raio r é:
r = raiz(-1)^2 + (-2)^2 - 1 = raiz1 + 4 - 1 = raiz4 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância da reta 3x + 4y - 6 = 0 até o centro da circunferência C(1, 2). A fórmula para a distância d de um ponto (x0, y0) à reta Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Substituindo os valores:
A = 3, B = 4, C = -6, x0 = 1, y0 = 2
d = |3(1) + 4(2) - 6|raiz3^2 + 4^2 = |3 + 8 - 6|5 = 55 = 1

Passo 4

Sabemos que a reta corta a circunferência formando uma corda. A relação entre o raio r, a distância da reta ao centro d, e o comprimento da corda L é dada por:
L = 2 raizr^2 - d^2
Substituindo os valores que encontramos:
r = 2, d = 1
L = 2 raiz2^2 - 1^2 = 2 raiz4 - 1 = 2 raiz3

Resposta

O valor de L^2 é:
L^2 = (2 raiz3)^2 = 4 times 3 = 12

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