Calcule:
integral0^1 xx^2+1 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida integral0^1xx^2+1,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando substituição, e vamos precisar aplicar a técnica de mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = x^2 + 1. Assim, derivando ambos os lados em relação a x temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = 12,du. Além disso, quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral0^1xx^2+1,dx = integralu=1^u=2 12cdot 1u,du = 12integral1^2duu

Passo 4

A integral de 1/u em relação a u é ln(u). Então
12integral1^2duu = 12l[ln(u)r]1^2 = 12l(ln(2)-ln(1)r)

Passo 5

Como ln(1)=0, a expressão fica
12ln(2)

Resposta

tfrac12ln(2)

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