As retas r e s têm equações vetoriais:
r:(x, y, z)=(1,2,3)+t(2,-1,4) \quad e \quad s:(x, y, z)=(3,-1,5)+k(4,-2,8)
Determine se as retas são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 definidas por equações vetoriais
r:(x,y,z)=(1,2,3)+t\,(2,-1,4)\quad\text{e}\quad s:(x,y,z)=(3,-1,5)+k\,(4,-2,8)
e pede para verificar se elas são perpendiculares. Para isso, vamos usar o produto escalar dos vetores diretores: elas são perpendiculares se e somente se o produto escalar for zero.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores:
v_r = (2,-1,4), \quad v_s = (4,-2,8).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
v_r \cdot v_s = 2\cdot4 + (-1)\cdot(-2) + 4\cdot8 = 8 + 2 + 32 = 42.

Passo 4

Como v_r \cdot v_s = 42 \neq 0, os vetores não são ortogonais. Além disso, nota-se que v_s = 2\,v_r, ou seja, as retas são paralelas. Logo, elas não podem ser perpendiculares.

Resposta

As retas r e s não são perpendiculares.

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