Em um retificador onda completa Ponte com Filtro ( \mathrm{V} \mathrm{j}=0,9 \mathrm{~V} ), sendo que a carga consome 1 \mathrm{~A}, \mathrm{~V} 2=18 \mathrm{Vef}, \mathrm{C}=2200 \mu \mathrm{F}, determine: Vond, VCC, o ripple, o tempo de condução e a corrente de pico dos diodos.

Passo 1

  • Dados fornecidos:
    • Tensão secundária eficaz: \;V_{2\text{(ef)}} = 18\\ \mathrm{V}.
    • Queda direta por diodo indicada: \;V_{j} = 0{,}9\\ \mathrm{V} (vou interpretar isto como a tensão direta de cada diodo em condução).
    • Corrente de carga: \;I_{L} = 1\\ \mathrm{A}.
    • Capacitor de filtro: \;C = 2200\\ \mu\mathrm{F} = 2200\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • O que o enunciado pede:
    1. \;V_{ond} — vou interpretar como a tensão direta (forward) de cada diodo em condução ( V_{on\_d}).
    2. \;V_{CC} — a tensão contínua média na saída (tensão do capacitor / tensão de saída DC).
    3. Ripple (ondulação), isto é a variação pico-a-pico \Delta V no capacitor.
    4. Tempo de condução dos diodos em cada semi-período (duração da descarga/recarga por pulso).
    5. Corrente de pico nos diodos durante o pulso de recarga.
  • Observação importante sobre frequência (não fornecida no enunciado): a ondulação e o tempo de condução dependem da frequência da rede. Para ser completo, vou apresentar os cálculos em duas hipóteses comuns:
    • Caso A: rede f = 50\\ \mathrm{Hz}.
    • Caso B: rede f = 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Nota final: não há ambiguidade quanto aos valores numéricos dados; apenas a frequência precisava ser assumida — as duas hipóteses acima cobrem os casos mais usados.

Passo 2

  • Primeiro conceito: converter tensão eficaz para pico. A tensão instantânea do secundário (senoidal) tem pico
V_{s\_p} = V_{2\text{(ef)}}\sqrt{2}.
  • Substituindo:
V_{s\_p} = 18\sqrt{2}\\ \mathrm{V} \approx 25{,}455\\ \mathrm{V}.
  • Em uma ponte retificadora em onda completa, em cada semi-ciclo dois diodos conduzem em série, portanto a queda total de diodos é
V_{D\_tot} = 2 V_{on\_d} = 2\cdot 0{,}9\\ \mathrm{V} = 1{,}8\\ \mathrm{V}.
  • Quando o capacitor é carregado ao pico, o maior valor que o capacitor alcança (valor de pico disponível para a carga) é aproximadamente
V_{\text{max}} = V_{s\_p} - 2V_{on\_d}.
  • Substituindo:
V_{\text{max}} \approx 25{,}455 - 1{,}8 = 23{,}655\\ \mathrm{V}.
  • Este é o valor máximo imediato que aparece no capacitor logo após o pulso de recarga (ignora pequenas quedas por resistência série).

Passo 3

  • Conceito: entre pulsos de recarga o capacitor fornece corrente à carga e sua tensão cai. Aproximação linear (válida quando o intervalo entre recargas é relativamente pequeno): a variação pico-a-pico da tensão no capacitor é
\Delta V = \frac{I_{L}\,\Delta t}{C},
onde \Delta t é o intervalo entre pulsos de recarga. Para retificação de onda completa, ocorre um pulso de recarga a cada semi-período, portanto
\Delta t = \frac{1}{2f}.
  • Substituindo:
\Delta V = \frac{I_{L}}{2 f C}.
  • Agora calculemos numericamente para os dois casos:
Caso A: f=50\\ \mathrm{Hz}.
\Delta V = \frac{1}{2\cdot 50 \cdot 2200\times10^{-6}} = \frac{1}{0{,}22} \approx 4{,}545\\ \mathrm{V}.
Caso B: f=60\\ \mathrm{Hz}.
\Delta V = \frac{1}{2\cdot 60 \cdot 2200\times10^{-6}} = \frac{1}{0{,}264} \approx 3{,}788\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação prática: a tensão no capacitor oscila entre V_{\text{max}} (após o pulso) e V_{\text{min}} = V_{\text{max}} - \Delta V (no ponto imediatamente antes do próximo pulso).

Passo 4

  • Conceito: se o ripple é aproximadamente triangular, a tensão média no capacitor (valor DC que aparece na saída) é aproximadamente o valor médio entre pico e vale:
V_{CC} \approx V_{\text{max}} - \frac{\Delta V}{2}.
  • Aplicando números:
Caso A: f=50\\ \mathrm{Hz}.
V_{CC} \approx 23{,}655 - \frac{4{,}545}{2} = 23{,}655 - 2{,}273 \approx 21{,}382\\ \mathrm{V}.
Caso B: f=60\\ \mathrm{Hz}.
V_{CC} \approx 23{,}655 - \frac{3{,}788}{2} = 23{,}655 - 1{,}894 \approx 21{,}761\\ \mathrm{V}.

Passo 5

  • Ideia física: o diodo conduz apenas quando a tensão instantânea do secundário (menos as quedas de diodo) ultrapassa a tensão no capacitor. Esse intervalo é curto e está centrado no pico da senoide. Para estimar o tempo de condução, usamos a aproximação de pequeno ângulo ao redor do pico e igualamos a defasagem quadrática da senoide à descarga linear do capacitor.
  • Passos matemáticos (resumo das aproximações):
    1. Aproximação da senoide perto do pico: se medirmos um tempo t' antes/ao redor do pico, V_{s}(t') \approx V_{s\_p}\bigl(1 - \tfrac{1}{2}(\omega t')^{2}\bigr), com \omega = 2\pi f.
    2. A condição de início de condução leva, após aproximações, à relação
V_{s\_p}\frac{(\omega t')^{2}}{2} \approx \frac{I_{L}}{C}\cdot\frac{1}{2f}.
  1. Deste resultado obtém-se o semi-intervalo t'; o tempo total de condução (pico a pico do pulso) é aproximadamente \delta \approx 2t'.
  • Isolando \delta obtemos a fórmula prática:
\delta \approx \frac{2}{\omega}\sqrt{\frac{I_{L}}{C f V_{s\_p}}}.
  • Agora os cálculos numéricos.
Caso A: f=50\\ \mathrm{Hz}.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 \approx 314{,}159\\ \mathrm{rad/s},
\delta \approx \frac{2}{314{,}159}\sqrt{\frac{1}{2200\times10^{-6}\cdot 50 \cdot 25{,}455}}.
Calcule o conteúdo da raiz:
\frac{1}{2200\times10^{-6}\cdot 50 \cdot 25{,}455} \approx 0{,}35714,
\sqrt{0{,}35714} \approx 0{,}5976,
\delta \approx \frac{2}{314{,}159}\cdot 0{,}5976 \approx 0{,}003805\\ \mathrm{s} \approx 3{,}805\\ \mathrm{ms}.
Angulo de condução (graus) relativo ao período:
\text{ângulo} = \delta\cdot f \cdot 360^\circ \approx 0{,}003805\cdot 50\cdot 360^\circ \approx 68{,}5^\circ.â
Caso B: f=60\\ \mathrm{Hz}.
\omega = 2\pi\cdot 60 \approx 377{,}0\\ \mathrm{rad/s},
\frac{1}{2200\times10^{-6}\cdot 60 \cdot 25{,}455} \approx 0{,}2976,\quad \sqrt{0{,}2976}\approx 0{,}5456,
\delta \approx \frac{2}{377{,}0}\cdot 0{,}5456 \approx 0{,}002896\\ \mathrm{s} \approx 2{,}896\\ \mathrm{ms},
ângulo:
\text{ângulo} \approx 0{,}002896\cdot 60\cdot 360^\circ \approx 62{,}6^\circ.â

Passo 6

  • Modelo simples para o pulso de recarga: suponha que a corrente de diodo i_{d}(t) durante condução tem forma aproximadamente triangular (vai de zero a I_{pk} e volta a zero). A área desse triângulo fornece a carga que vai para o capacitor mais a carga consumida pela carga durante o tempo de condução. Matematicamente:
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2} I_{pk}\,\delta.Áâ
Essa área deve igualar a carga fornecida ao capacitor mais a carga consumida pela carga durante \delta:
\frac{1}{2} I_{pk}\,\delta = C\Delta V + I_{L}\,\delta.
Daí isolamos I_{pk}:
I_{pk} = 2\left(\frac{C\Delta V}{\delta} + I_{L}\right).
  • Vamos calcular para ambos os casos. Lembrando C\Delta V já pode ser computado numericamente.
Caso A: f=50\\ \mathrm{Hz}.
\Delta V \approx 4{,}545\\ \mathrm{V},\quad C\Delta V = 2200\times10^{-6}\cdot 4{,}545 \approx 0{,}01000\\ \mathrm{C}.
\delta \approx 0{,}003805\\ \mathrm{s}.
\frac{C\Delta V}{\delta} \approx \frac{0{,}01000}{0{,}003805} \approx 2{,}628\\ \mathrm{A}.
I_{pk} = 2\left(2{,}628 + 1\right) \approx 2\cdot 3{,}628 \approx 7{,}256\\ \mathrm{A}.
Caso B: f=60\\ \mathrm{Hz}.
\Delta V \approx 3{,}788\\ \mathrm{V},\quad C\Delta V = 2200\times10^{-6}\cdot 3{,}788 \approx 0{,}0083336\\ \mathrm{C}.
\delta \approx 0{,}002896\\ \mathrm{s}.
\frac{C\Delta V}{\delta} \approx \frac{0{,}0083336}{0{,}002896} \approx 2{,}877\\ \mathrm{A}.
I_{pk} = 2\left(2{,}877 + 1\right) \approx 2\cdot 3{,}877 \approx 7{,}754\\ \mathrm{A}.
  • Observação: esses valores são estimativas aproximadas usando modelo triangular e sem considerar resistências série do transformador ou resistência dinâmica do diodo; na prática a resistência série limita e reduz o pico. Ainda assim, esses cálculos dão uma boa ordem de grandeza para o pico de corrente do diodo.

Resposta

Vond (tensão direta de cada diodo): 0{,}9\\ \mathrm{V}
Caso f=50\\ \mathrm{Hz}:
VCC (tensão média no capacitor): 21{,}382\\ \mathrm{V}
Ripple pico-a-pico \Delta V: 4{,}545\\ \mathrm{V}
Tempo de condução por pulso \delta: 3{,}805\\ \mathrm{ms} (ângulo ≈ 68{,}5^\circ)
Corrente de pico do diodo I_{pk}: 7{,}256\\ \mathrm{A}
Caso f=60\\ \mathrm{Hz}:
VCC (tensão média no capacitor): 21{,}761\\ \mathrm{V}
Ripple pico-a-pico \Delta V: 3{,}788\\ \mathrm{V}
Tempo de condução por pulso \delta: 2{,}896\\ \mathrm{ms} (ângulo ≈ 62{,}6^\circ)
Corrente de pico do diodo I_{pk}: 7{,}754\\ \mathrm{A}

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