Se retirar um número finito de termos em uma serie divergente continua divergente PROVE.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se temos uma série divergente e retiramos um número finito de termos iniciais, a série resultante também diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e o comportamento de suas somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir. Dizemos que a série sumn=1^infty an diverge quando a sequência de somas parciais SN = sumn=1^N an não converge para um número finito.
Suponha que sumn=1^infty an seja divergente. Isso quer dizer que a sequência (SN)N=1^infty não tem limite finito, ou seja, não existe Lin R tal que SNto L quando Ntoinfty.

Passo 3

Agora, retiremos os primeiros k termos dessa série e consideremos a série abaixo, formada pelos termos a partir de n=k+1:
sumn=k+1^infty an

Passo 4

Defina as somas parciais dessa nova série por
TM = sumn=k+1^k+M an

Passo 5

Observe que cada TM pode ser escrito em função de Sk+M e de Sk, pois
TM = Sk+M - Sk, onde Sk = sumn=1^k an é uma constante fixa.

Passo 6

Como a série original diverge, Sk+M não converge quando Mtoinfty. Subtrair a constante Sk não muda esse comportamento: se Sk+M não tem limite finito, então TM = Sk+M-Sk também não terá.
Portanto, a sequência de somas parciais (TM)M=1^infty não converge, o que implica que

é divergente, completando a prova.

Resposta

Remover qualquer número finito de termos de uma série divergente resulta em uma série cujas somas parciais ainda não convergem, logo a série continua divergente.

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