Se retirar um número finito de termos em uma serie divergente continua divergente PROVE.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se temos uma série divergente e retiramos um número finito de termos iniciais, a série resultante também diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e o comportamento de suas somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir. Dizemos que a série
diverge quando a sequência de somas parciais
não converge para um número finito.
Suponha que seja divergente. Isso quer dizer que a sequência
não tem limite finito, ou seja, não existe
tal que
quando
.
Suponha que
Passo 3
Agora, retiremos os primeiros
termos dessa série e consideremos a série abaixo, formada pelos termos a partir de
:
Passo 4
Defina as somas parciais dessa nova série por
Passo 5
Observe que cada
pode ser escrito em função de
e de
, pois
Passo 6
Como a série original diverge,
não converge quando
. Subtrair a constante
não muda esse comportamento: se
não tem limite finito, então
também não terá.
Portanto, a sequência de somas parciais não converge, o que implica que
é divergente, completando a prova.
Portanto, a sequência de somas parciais
é divergente, completando a prova.
Resposta
Remover qualquer número finito de termos de uma série divergente resulta em uma série cujas somas parciais ainda não convergem, logo a série continua divergente.