Seja uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se é assíntota de para , então .
Passo 1
O enunciado considera uma função derivável duas vezes em “]0,+∞[” e pergunta se, sempre que a reta for assíntota de em , teremos necessariamente . Vamos mostrar que isso é falso, apresentando um contraexemplo.
Passo 2
Definição de assíntota inclinada. Dizemos que é assíntota de para se e somente se
Ou seja, a diferença entre e a reta tende a zero.
Passo 3
Construção do contraexemplo. Definimos
Então
logo a reta y=x (isto é, m=1, n=0) é assíntota de f em +∞.