Seja f:] 0,+infty[ R uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se y=m x+n é assíntota de f para x +infty, então lim x +infty f^prime(x)=m.

Passo 1

O enunciado considera uma função derivável duas vezes em “]0,+∞[” e pergunta se, sempre que a reta y=mx+n for assíntota de f em +∞, teremos necessariamente limxto+∞f'(x)=m. Vamos mostrar que isso é falso, apresentando um contraexemplo.

Passo 2

Definição de assíntota inclinada. Dizemos que y=mx+n é assíntota de f para xto+∞ se e somente se
limxto+∞l(f(x)-(mx+n)r)=0
Ou seja, a diferença entre f(x) e a reta tende a zero.

Passo 3

Construção do contraexemplo. Definimos
f(x)=x+sin(x^2)x, x>0
Então
f(x)-x=sin(x^2)x xrightarrow[xto+∞] 0,
logo a reta y=x (isto é, m=1, n=0) é assíntota de f em +∞.

Passo 4

Cálculo de f'(x). Derivando f, temos
f'(x)=1+ddxl(sin(x^2)xr) =1+2xcos(x^2)cdot x-sin(x^2)x^2 =1+2cos(x^2)-sin(x^2)x^2
Como 2cos(x^2) oscila entre -2 e 2 e sin(x^2)/x^2to0, o limite de f'(x) não existe.

Passo 5

Conclusão. Encontramos uma função f com assíntota y=x para a qual f'(x) não converge para 1. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

Exercícios relacionados