Calcule a maior área possível para um retângulo de perímetro 40 cm .

Passo 1

Temos um retângulo com perímetro 40 cm e queremos encontrar sua maior área possível. O conteúdo envolve otimização de funções quadráticas usando a relação entre perímetro e lados.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo. Como o perímetro é 40 cm, temos
2(x + y) = 40
Isolando y:
y = 20 - x

Passo 3

A área do retângulo é dada por A = x cdot y. Substituindo o valor de y, obtemos a função objetivo em x:
A(x) = x cdot (20 - x) = 20x - x^2

Passo 4

Para encontrar o máximo de A(x), calculamos a derivada, igualamos a zero e analisamos a concavidade:
A'(x) = 20 - 2x = 0 implies x = 10
Como o coeficiente de x^2 em A(x) é negativo, esse ponto é um máximo.

Passo 5

Substituindo x = 10 em y = 20 - x, obtemos y = 10. Assim, o retângulo de maior área é um quadrado de lados 10 cm.

Passo 6

Calculamos a área máxima:
Amax = 10 cdot 10 = 100 cm^2

Resposta

100 cm^2

Exercícios relacionados