Um revendedor de carros usados diz que o preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de \ 23900 . Você suspeita que a afirmação é incorreta, acreditando que o preço é inferior, e descobre que uma amostra aleatória de 44 veículos similares tem média de preço deêçãéçéóíéç$23000 e desvio padrão deã$ 1113$.
a)Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor ao nível de 1 \% ? Assuma que a população é normalmente distribuída.
b)Após tomar sua decisão, qual a probabilidade de que você esteja cometendo o erro do tipo I? Justifique.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (peguei todos do enunciado):
  • Afirmação do revendedor: o preço médio é \$23900.
  • Você suspeita que o preço médio é menor (ou seja, quer testar se é inferior).
  • Amostra aleatória de n=44 veículos similares.
  • Média amostral \bar{x}= \$23000.
  • Desvio padrão amostral s=\$1113.
  • Nível de significância \alpha=1\%=0,01.
  • Foi dada a suposição de que a população é normalmente distribuída.
O que o enunciado pede:
a) Verificar se há evidências suficientes, ao nível de 1\%, para rejeitar a afirmação do revendedor (isto é, testar se a média populacional \mu é menor que \$23900).
b) Após a decisão, informar qual a probabilidade de que se esteja cometendo o erro do tipo I e justificar.

Passo 2

Formulando o teste de hipóteses (lado e interpretação):
  • Hipótese nula (declaração do revendedor): H_0:\\ \mu = 23900.
  • Hipótese alternativa (sua suspeita de valor menor): H_1:\\ \mu < 23900.
Isto é um teste unilateral (cauda esquerda). Como o desvio padrão populacional não é conhecido e a amostra vem de população normalmente distribuída, usa-se o teste t de Student com n-1 graus de liberdade. Vou explicar a estatística de teste:
A estatística t é dada por
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=\$23000);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=\$23900);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=\$1113);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=44);
  • A distribuição de t sob H_0 é t_{n-1}, isto é t_{43}.
Regra de decisão (nível \alpha=0,01): rejeita-se H_0 se a estatística calculada for menor ou igual ao quantil crítico t_{\alpha,\,df} (valor negativo para cauda esquerda). Alternativamente, rejeita-se se o p-valor for menor que \alpha.

Passo 3

Cálculo numérico da estatística t passo a passo:
  1. Diferença entre média amostral e hipotética:
\bar{x}-\mu_0 = 23000-23900 = -900.
  1. Calcula-se \sqrt{n}:
\sqrt{44}\approx 6{,}633.
  1. Calcula-se o erro padrão da média s/\sqrt{n}:
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1113}{\sqrt{44}} \approx \frac{1113}{6{,}633}\approx 167{,}77.
  1. Agora a estatística t:
t=\frac{-900}{167{,}77}\approx -5{,}37.
Portanto, a estatística observada é \displaystyle t_{\text{obs}}\approx -5{,}37 com df=44-1=43.

Passo 4

Comparação com o valor crítico e interpretação:
  • O valor crítico para um teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}01 e df=43 é aproximadamente
t_{0{,}01,\,43}\approx -2{,}41\quad(\text{valor da tabela }t_{43}\text{ para área }0{,}01\text{ à esquerda}).áà
  • Como \,t_{\text{obs}}\approx -5{,}37 \le -2{,}41\,, a estatística está muito na região de rejeição.
Conclusão por comparação crítica: rejeitamos H_0 ao nível de 1\%. Há evidência estatística de que a média populacional é menor que \$23900.

Passo 5

Cálculo (aproximado) do p-valor e interpretação:
O p-valor é P(T_{43}\le t_{\text{obs}}). Como t_{\text{obs}} é muito extremo, o p-valor é praticamente zero. Usando aproximação pela normal (válida para valores extremos e n razoavelmente grande) obtém-se
\text{p-value}\approx P(Z\le -5{,}37)\approx 4{,}0\times10^{-8},
ou seja, muito menor que 0{,}01. Portanto, a evidência contra H_0 é extremamente forte.

Passo 6

Resposta à parte (b) — probabilidade de erro tipo I e justificativa:
Por definição, o erro de tipo I é a probabilidade de rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. Ao fixar o nível de significância do teste em \alpha=0{,}01, está-se fixando essa probabilidade. Portanto, a probabilidade de cometer erro do tipo I neste teste é
\Pr(\text{erro tipo I})=\alpha=0{,}01\quad(\text{ou }1\%).
Explicação em palavras: mesmo que o p-valor observado seja muito pequeno e a decisão tenha sido rejeitar H_0, a taxa de erro que o procedimento de teste foi projetado para ter (quando H_0 for verdadeira) é 1\%. Isso é uma propriedade do critério de decisão escolhido (nível \alpha).

Resposta

a) Sim. Rejeita-se H_0:\mu=23900 ao nível de 1\%; estatística t\approx -5{,}37 e p\text{-value}\approx 4{,}0\times10^{-8}.
b) Probabilidade de erro do tipo I = 0{,}01 (ou 1\%).

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