Um revendedor de carros usados diz que o preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de
23900
$23000
$ 1113$.
a)Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor ao nível de
? Assuma que a população é normalmente distribuída.
b)Após tomar sua decisão, qual a probabilidade de que você esteja cometendo o erro do tipo I? Justifique.
a)Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor ao nível de
b)Após tomar sua decisão, qual a probabilidade de que você esteja cometendo o erro do tipo I? Justifique.
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (peguei todos do enunciado):
- Afirmação do revendedor: o preço médio é
. - Você suspeita que o preço médio é menor (ou seja, quer testar se é inferior).
- Amostra aleatória de
veículos similares. - Média amostral
. - Desvio padrão amostral
. - Nível de significância
. - Foi dada a suposição de que a população é normalmente distribuída.
O que o enunciado pede:
a) Verificar se há evidências suficientes, ao nível de , para rejeitar a afirmação do revendedor (isto é, testar se a média populacional
é menor que
).
b) Após a decisão, informar qual a probabilidade de que se esteja cometendo o erro do tipo I e justificar.
a) Verificar se há evidências suficientes, ao nível de
b) Após a decisão, informar qual a probabilidade de que se esteja cometendo o erro do tipo I e justificar.
Passo 2
Formulando o teste de hipóteses (lado e interpretação):
- Hipótese nula (declaração do revendedor):
- Hipótese alternativa (sua suspeita de valor menor):
Isto é um teste unilateral (cauda esquerda). Como o desvio padrão populacional não é conhecido e a amostra vem de população normalmente distribuída, usa-se o teste t de Student com
graus de liberdade. Vou explicar a estatística de teste:
A estatística t é dada por
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); - A distribuição de
sob é , isto é .
Regra de decisão (nível
): rejeita-se
se a estatística calculada for menor ou igual ao quantil crítico
(valor negativo para cauda esquerda). Alternativamente, rejeita-se se o p-valor for menor que
.
Passo 3
Cálculo numérico da estatística t passo a passo:
- Diferença entre média amostral e hipotética:
- Calcula-se
:
- Calcula-se o erro padrão da média
:
- Agora a estatística t:
Portanto, a estatística observada é
com
.
Passo 4
Comparação com o valor crítico e interpretação:
- O valor crítico para um teste unilateral à esquerda com
e é aproximadamente
- Como
a estatística está muito na região de rejeição.
Conclusão por comparação crítica: rejeitamos
ao nível de
. Há evidência estatística de que a média populacional é menor que
.
Passo 5
Cálculo (aproximado) do p-valor e interpretação:
O p-valor é . Como
é muito extremo, o p-valor é praticamente zero. Usando aproximação pela normal (válida para valores extremos e
razoavelmente grande) obtém-se
O p-valor é
ou seja, muito menor que
. Portanto, a evidência contra
é extremamente forte.
Passo 6
Resposta à parte (b) — probabilidade de erro tipo I e justificativa:
Por definição, o erro de tipo I é a probabilidade de rejeitar quando
é verdadeira. Ao fixar o nível de significância do teste em
, está-se fixando essa probabilidade. Portanto, a probabilidade de cometer erro do tipo I neste teste é
Por definição, o erro de tipo I é a probabilidade de rejeitar
Explicação em palavras: mesmo que o p-valor observado seja muito pequeno e a decisão tenha sido rejeitar
, a taxa de erro que o procedimento de teste foi projetado para ter (quando
for verdadeira) é
. Isso é uma propriedade do critério de decisão escolhido (nível
).
Resposta
a) Sim. Rejeita-se
ao nível de
; estatística
e
.
b) Probabilidade de erro do tipo I = (ou
).
b) Probabilidade de erro do tipo I =