A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição normal, com média de 1800 Kg e desvio padrão de 100 Kg . Mediante uma nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa declaração ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de ruptura 1850 Kg . Pode-se aceitar a proclamação ao nível de
? Resp:
Passo 1
O enunciado pede para decidir, ao nível de significância de
, se se pode aceitar a proclamação de que a tensão média de ruptura aumentou com a nova técnica. As informações fornecidas são:
- Tensão de ruptura na população antes da técnica: média
. - Desvio padrão populacional:
. - Amostra com tamanho
. - Média amostral:
. - Nível de significância:
.
A pergunta concreta é: com esses dados, pode‑se aceitar a proclamação de aumento da média ao nível de?
Passo 2
Vamos formular o teste de hipóteses (isso mostra o que exatamente estamos testando):
Explicação didática:
é a hipótese nula (a suposição que testamos) e
é a hipótese alternativa que queremos demonstrar. Como a proclamação diz que a média “aumentou”, usamos um teste unilateral à direita — procuramos evidência de que a média é maior que
.
Passo 3
Como a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional
é conhecido, usamos o teste
para a média. A estatística de teste é
Explicando cada símbolo:
-
é a média da amostra; -
é a média sob ; -
é o desvio padrão populacional conhecido; -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição amostral de ).
Passo 4
Calcular o erro padrão
:
Breve explicação: escrever
permite simplificar exatamente e obter
para o erro padrão; numericamente isso é cerca de
.
Passo 5
Calcular a estatística
substituindo os valores:
Isto coincide com o valor informado
. Interpretação: o valor observado da média amostral está
desvios-padrão acima da média assumida em
.
Passo 6
Decisão do teste:
- Para um teste unilateral à direita com
, o valor crítico é (ou seja, rejeita‑se se ). - Aqui
e portanto . Logo rejeita‑se .
Cálculo do valor‑p (fornece força da evidência):
Explicação:
é a função de distribuição acumulada da normal padrão; um valor‑p tão pequeno indica evidência muito forte contra
.
Passo 7
Conclusão em palavras (contexto e interpretação): ao nível de significância de
, há evidência estatística forte para concluir que a tensão média de ruptura aumentou com a nova técnica. Portanto, aceita‑se a proclamação (na prática estatística: rejeita‑se
em favor de
). De forma intuitiva: a média amostral
está muito acima do que seria esperado por variação aleatória se a média real fosse
.
Resposta
Sim — rejeita‑se
e aceita‑se a proclamação;
;
.