A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição normal, com média de 1800 Kg e desvio padrão de 100 Kg . Mediante uma nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa declaração ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de ruptura 1850 Kg . Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5 \% ? Resp: Z_{\text {calc }}=3,536

Passo 1

O enunciado pede para decidir, ao nível de significância de 5\%, se se pode aceitar a proclamação de que a tensão média de ruptura aumentou com a nova técnica. As informações fornecidas são:
  • Tensão de ruptura na população antes da técnica: média \mu_0=1800\\ \text{Kg}.
  • Desvio padrão populacional: \sigma=100\\ \text{Kg}.
  • Amostra com tamanho n=50.
  • Média amostral: \bar{x}=1850\\ \text{Kg}.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
    A pergunta concreta é: com esses dados, pode‑se aceitar a proclamação de aumento da média ao nível de 5\%?

Passo 2

Vamos formular o teste de hipóteses (isso mostra o que exatamente estamos testando):
H_0: \mu = 1800\qquad\text{(não houve aumento)}ã
H_1: \mu > 1800\qquad\text{(houve aumento — hipótese alternativa unilateral à direita)}óà
Explicação didática: H_0 é a hipótese nula (a suposição que testamos) e H_1 é a hipótese alternativa que queremos demonstrar. Como a proclamação diz que a média “aumentou”, usamos um teste unilateral à direita — procuramos evidência de que a média é maior que 1800.

Passo 3

Como a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste z para a média. A estatística de teste é
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média da amostra;
  • \mu_0 é a média sob H_0;
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição amostral de \bar{x}).

Passo 4

Calcular o erro padrão \sigma/\sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7,071
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{100}{\sqrt{50}}=\frac{100}{5\sqrt{2}}=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\approx14,142.
Breve explicação: escrever \sqrt{50}=5\sqrt{2} permite simplificar exatamente e obter 10\sqrt{2} para o erro padrão; numericamente isso é cerca de 14,142.

Passo 5

Calcular a estatística z substituindo os valores:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{1850-1800}{14,142}=\frac{50}{14,142}\approx3,536.
Isto coincide com o valor informado Z_{\text{calc}}=3,536. Interpretação: o valor observado da média amostral está 3,536 desvios-padrão acima da média assumida em H_0.

Passo 6

Decisão do teste:
  • Para um teste unilateral à direita com \alpha=5\%, o valor crítico é z_{crit}=1,645 (ou seja, rejeita‑se H_0 se z>1,645).
  • Aqui z=3,536 e portanto z>1,645. Logo rejeita‑se H_0.
    Cálculo do valor‑p (fornece força da evidência):
\text{p‑value}=1-\Phi(3,536)\approx0,0002.
Explicação: \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão; um valor‑p tão pequeno indica evidência muito forte contra H_0.

Passo 7

Conclusão em palavras (contexto e interpretação): ao nível de significância de 5\%, há evidência estatística forte para concluir que a tensão média de ruptura aumentou com a nova técnica. Portanto, aceita‑se a proclamação (na prática estatística: rejeita‑se H_0 em favor de H_1). De forma intuitiva: a média amostral 1850\\ \text{Kg} está muito acima do que seria esperado por variação aleatória se a média real fosse 1800\\ \text{Kg}.

Resposta

Sim — rejeita‑se H_0 e aceita‑se a proclamação; Z_{\text{calc}}=3,536; \text{p‑value}\approx0,0002.

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