A Zogby Internacional declara que
das pessoas nos Estados Unidos são a favor de tornar a venda do cigarro ilegal dentro dos próximos 10 anos. Você decide testar essa afirmação e entrevista uma amostra de 200 pessoas, dentre as quais,
são a favor da lei. Com
, há evidência o bastante para apoiar a afirmação?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
-
Informação dada:
- Proporção alegada pela Zogby:
. - Tamanho da amostra:
. - Proporção observada na amostra:
. - Nível de significância:
.
- Proporção alegada pela Zogby:
-
O que é pedido:
- Verificar, ao nível
, se há evidência suficiente para apoiar (ou, na linguagem do teste, não rejeitar) a afirmação de que a proporção verdadeira é .
- Verificar, ao nível
Passo 2
Formulação das hipóteses (explicando o sentido de cada uma):
-
Hipótese nula:que significa “a verdadeira proporção é
”, ou seja, a afirmação da Zogby. -
Hipótese alternativa:que significa que a verdadeira proporção é diferente de
.
Justificativa do teste bilateral: como queremos saber se os dados dão evidência contra a afirmação de
(podendo ser maior ou menor), usamos um teste bilateral (dois lados).
Passo 3
Condições para usar o teste-z da proporção (aproximação normal) e verificação numérica:
-
Regra prática: usar a aproximação normal quando
e . Isso garante que a distribuição amostral de está bem aproximada por uma normal. -
Cálculos:
Logo, a aproximação normal é apropriada.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste e interpretação das variáveis:
- Quando se testa uma proporção com
, a estatística de teste-z é
Explicando cada termo:
-
é a proporção observada na amostra. -
é a proporção sob a hipótese nula. -
é o erro padrão da proporção sob , ou seja a estimativa da variabilidade esperada de se .
Passo 5
Cálculo passo a passo do erro padrão e da estatística
:
- Primeiro calcule
:
- Divida por
:
- Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
- Diferença entre a proporção amostral e a hipótese:
- Estatística de teste:
Passo 6
Cálculo do valor-p e comparação com
(interpretação prática):
- Para teste bilateral, o valor-p é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão (probabilidade até
).
- Usando
, (tabela ou calculadora normal padrão),
- Comparação com
: . Alternativamente, o valor crítico bilateral para é ; como , também não rejeitamos .
Passo 7
Conclusão em linguagem acessível (o que isso significa na prática):
-
O resultado mostra que a diferença observada de
versus não é estatisticamente significativa ao nível . Em outras palavras, a amostra de não fornece evidência suficiente para concluir que a proporção verdadeira é diferente de . -
Portanto, não há motivo para rejeitar a afirmação da Zogby com base nesses dados; os dados são compatíveis com a proporção alegada de
. Lembre-se: “não rejeitar ” não prova que é verdadeira, apenas indica que não há evidência estatística contrária nos dados.
Resposta
Não. Estatística de teste
; valor-p
. Não rejeita-se
: não há evidência estatística suficiente para contrariar a afirmação de que
são a favor.