A Zogby Internacional declara que 45 \% das pessoas nos Estados Unidos são a favor de tornar a venda do cigarro ilegal dentro dos próximos 10 anos. Você decide testar essa afirmação e entrevista uma amostra de 200 pessoas, dentre as quais, 49 \% são a favor da lei. Com \alpha=0,05, há evidência o bastante para apoiar a afirmação?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Informação dada:
    • Proporção alegada pela Zogby: \,p_0 = 0{,}45.
    • Tamanho da amostra: n = 200.
    • Proporção observada na amostra: \hat{p} = 0{,}49.
    • Nível de significância: \alpha = 0{,}05.
  • O que é pedido:
    • Verificar, ao nível \alpha = 0{,}05, se há evidência suficiente para apoiar (ou, na linguagem do teste, não rejeitar) a afirmação de que a proporção verdadeira é 45\%.

Passo 2

Formulação das hipóteses (explicando o sentido de cada uma):
  • Hipótese nula: H_0:\; p = 0{,}45,
    que significa “a verdadeira proporção é 45\%”, ou seja, a afirmação da Zogby.
  • Hipótese alternativa: H_1:\; p \neq 0{,}45,
    que significa que a verdadeira proporção é diferente de 45\%.
Justificativa do teste bilateral: como queremos saber se os dados dão evidência contra a afirmação de 45\% (podendo ser maior ou menor), usamos um teste bilateral (dois lados).

Passo 3

Condições para usar o teste-z da proporção (aproximação normal) e verificação numérica:
  • Regra prática: usar a aproximação normal quando n p_0 \ge 5 e n(1-p_0) \ge 5. Isso garante que a distribuição amostral de \hat{p} está bem aproximada por uma normal.
  • Cálculos:
    n p_0 = 200 \times 0{,}45 = 90 \ge 5,
n(1-p_0) = 200 \times 0{,}55 = 110 \ge 5.
Logo, a aproximação normal é apropriada.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e interpretação das variáveis:
  • Quando se testa uma proporção com H_0:\,p=p_0, a estatística de teste-z é
z \;=\; \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicando cada termo:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra.
  • p_0 é a proporção sob a hipótese nula.
  • \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0, ou seja a estimativa da variabilidade esperada de \hat{p} se p=p_0.

Passo 5

Cálculo passo a passo do erro padrão e da estatística z:
  • Primeiro calcule p_0(1-p_0):
p_0(1-p_0) = 0{,}45 \times 0{,}55 = 0{,}2475.
  • Divida por n:
\frac{p_0(1-p_0)}{n} = \frac{0{,}2475}{200} = 0{,}0012375.
  • Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\text{SE} = \sqrt{0{,}0012375} \approx 0{,}03517.
  • Diferença entre a proporção amostral e a hipótese:
\hat{p}-p_0 = 0{,}49 - 0{,}45 = 0{,}04.
  • Estatística de teste:
z = \frac{0{,}04}{0{,}03517} \approx 1{,}137 \approx 1{,}14.

Passo 6

Cálculo do valor-p e comparação com \alpha (interpretação prática):
  • Para teste bilateral, o valor-p é
\text{valor-p} = 2\big(1-\Phi(|z|)\big),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão (probabilidade até z).
  • Usando z \approx 1{,}137, \Phi(1{,}137) \approx 0{,}8729 (tabela ou calculadora normal padrão),
\text{valor-p} \approx 2\big(1-0{,}8729\big)=2(0{,}1271)=0{,}2542 \approx 0{,}254.
  • Comparação com \alpha: 0{,}254 > 0{,}05. Alternativamente, o valor crítico bilateral para \alpha=0{,}05 é z_{0{,}975}=1{,}96; como |z| \approx 1{,}14 < 1{,}96, também não rejeitamos H_0.

Passo 7

Conclusão em linguagem acessível (o que isso significa na prática):
  • O resultado mostra que a diferença observada de 49\% versus 45\% não é estatisticamente significativa ao nível \alpha=0{,}05. Em outras palavras, a amostra de n=200 não fornece evidência suficiente para concluir que a proporção verdadeira é diferente de 45\%.
  • Portanto, não há motivo para rejeitar a afirmação da Zogby com base nesses dados; os dados são compatíveis com a proporção alegada de 45\%. Lembre-se: “não rejeitar H_0” não prova que H_0 é verdadeira, apenas indica que não há evidência estatística contrária nos dados.

Resposta

Não. Estatística de teste z \approx 1{,}14; valor-p \approx 0{,}254>0{,}05. Não rejeita-se H_0: não há evidência estatística suficiente para contrariar a afirmação de que 45\% são a favor.

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