1. Em uma revendedora de automóveis, 70 \% dos veículos são novos e 30 \% são usados. Entre os novos: 80 \% são da marca A, 10 \% da marca B e 10 \% da marca C. Já entre os usados: 60 \% são da marca A, 30 \% da marca B e 10 \% da marca C. Se for sorteado ao acaso um carro do estoque dessa revendedora:
    a) Qual a probabilidade de que ele seja da marca A ? E da marca B ? E da marca C?
    b) Supondo que ele é da marca A, qual a probabilidade de ser um carro novo? E de ser um carro usado?

Passo 1

O enunciado fornece a composição do estoque em termos de condição (novo/usado) e, dentro de cada condição, a distribuição por marcas. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que um carro sorteado ao acaso seja da marca A? E da marca B? E da marca C?
b) Supondo que o carro sorteado é da marca A, qual a probabilidade de que ele seja novo? E de que seja usado?
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
P(\text{novo})=70\%=0,70,\qquad P(\text{usado})=30\%=0,30.
Entre os novos:
P(A\mid \text{novo})=80\%=0,80,\quad P(B\mid \text{novo})=10\%=0,10,\quad P(C\mid \text{novo})=10\%=0,10.
Entre os usados:
P(A\mid \text{usado})=60\%=0,60,\quad P(B\mid \text{usado})=30\%=0,30,\quad P(C\mid \text{usado})=10\%=0,10.

Passo 2

Para responder (a) vamos usar a regra da probabilidade total: quando um evento (por exemplo, “ser da marca A”) pode ocorrer por caminhos mutuamente exclusivos (por exemplo, sendo o carro novo ou sendo o carro usado), a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho (probabilidade do caminho) vezes a probabilidade condicional do evento nesse caminho.
Fórmula geral (aqui cada termo será explicado):
P(\text{marca }X)=P(\text{novo})\cdot P(X\mid\text{novo})+P(\text{usado})\cdot P(X\mid\text{usado}).
O que cada símbolo significa:
  • P(\text{marca }X): probabilidade de sortear um carro da marca X (queremos isso).
  • P(\text{novo}): probabilidade de sortear um carro novo (dado pelo enunciado).
  • P(X\mid\text{novo}): probabilidade de ser da marca X dado que é novo (dado).
  • Termos análogos para “usado”.
Exemplo rápido e simples para fixar: se metade dos carros fosse novo ( P(\text{novo})=0,5) e todo carro novo fosse da marca A ( P(A\mid\text{novo})=1) enquanto nenhum carro usado fosse A ( P(A\mid\text{usado})=0), então P(A)=0,5\cdot1+0,5\cdot0=0,5.

Passo 3

Calcular P(A) aplicando a fórmula:
P(A)=P(\text{novo})\cdot P(A\mid\text{novo})+P(\text{usado})\cdot P(A\mid\text{usado}).
Substituindo os números:
P(A)=0,70\cdot 0,80 + 0,30\cdot 0,60.
Fazendo as multiplicações:
0,70\cdot 0,80 = 0,56,\qquad 0,30\cdot 0,60 = 0,18.
Somando:
P(A)=0,56+0,18=0,74.
Interpretação: 74\% dos carros no estoque são da marca A.

Passo 4

Calcular P(B) do mesmo jeito:
P(B)=0,70\cdot 0,10 + 0,30\cdot 0,30.
Multiplicando:
0,70\cdot 0,10 = 0,07,\qquad 0,30\cdot 0,30 = 0,09.
Somando:
P(B)=0,07+0,09=0,16.
Interpretação: 16\% dos carros são da marca B.

Passo 5

Calcular P\text{(C)}:
P\text{(C)}=0,70\cdot 0,10 + 0,30\cdot 0,10.
Multiplicando:
0,70\cdot 0,10 = 0,07,\qquad 0,30\cdot 0,10 = 0,03.
Somando:
P\text{(C)}=0,07+0,03=0,10.
Interpretação: 10\% dos carros são da marca C.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: as probabilidades das três marcas devem somar 1 (ou 100\%):
P(A)+P(B)+P\text{(C)}=0,74+0,16+0,10=1,00.
Ótimo — está consistente.

Passo 7

Agora a parte (b). Queremos P(\text{novo}\mid A) e P(\text{usado}\mid A): ou seja, dado que o carro sorteado é da marca A, qual a probabilidade de ser novo/usar. Para isso usamos o Teorema de Bayes, que reverte condicionais:
Fórmula de Bayes (explicando cada termo):
P(\text{novo}\mid A)=\frac{P(\text{novo})\cdot P(A\mid\text{novo})}{P(A)}.
Aqui:
  • O numerador P(\text{novo})\cdot P(A\mid\text{novo}) é a probabilidade conjunta de o carro ser novo e da marca A (o “caminho novo→A”).
  • O denominador P(A) é a probabilidade total de ser A (já calculada no Passo 3).

Passo 8

Calcular P(\text{novo}\mid A) com os números:
P(\text{novo}\mid A)=\frac{0,70\cdot 0,80}{P(A)}=\frac{0,56}{0,74}.
Transformando a fração para termos mais simples: \dfrac{0,56}{0,74}=\dfrac{56}{74}=\dfrac{28}{37} (dividindo numerador e denominador por 2). Em forma decimal:
\frac{28}{37}\approx 0,756756\ldots
Arredondando razoavelmente, P(\text{novo}\mid A)\approx 0,7568, ou seja cerca de 75{,}68\%.
Interpretação: entre os carros da marca A, aproximadamente 75{,}7\% são novos.

Passo 9

Calcular P(\text{usado}\mid A). Podemos usar complemento (novo/usar são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço) ou aplicar Bayes diretamente. Usando complemento:
P(\text{usado}\mid A)=1-P(\text{novo}\mid A)=1-\frac{28}{37}=\frac{9}{37}.
Em decimal:
\frac{9}{37}\approx 0,243243\ldots\approx 0,2432,
ou seja cerca de 24{,}32\%.
Verificação via Bayes direto:
P(\text{usado}\mid A)=\frac{P(\text{usado})\cdot P(A\mid\text{usado})}{P(A)}=\frac{0,30\cdot 0,60}{0,74}=\frac{0,18}{0,74}=\frac{18}{74}=\frac{9}{37},
que coincide com o complemento — tudo certo.

Passo 10

Resumo final conciso e incentivo: fizemos a conta usando a regra da probabilidade total (para achar marginais das marcas) e o Teorema de Bayes (para reverter a condição e achar a probabilidade de ser novo dado que é A). Você já pode aplicar o mesmo procedimento com qualquer combinação parecida — continue praticando que pega o jeito rápido. Força aí, você vai mandar bem na prova!

Resposta

P(A)=0,74
P(B)=0,16
P\text{(C)}=0,10
P(\text{novo}\mid A)=\dfrac{28}{37}\approx 0,7568
P(\text{usado}\mid A)=\dfrac{9}{37}\approx 0,2432

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