- Em uma revendedora de automóveis,
dos veículos são novos e
são usados. Entre os novos:
são da marca A,
da marca B e
da marca C. Já entre os usados:
são da marca A,
da marca B e
da marca C. Se for sorteado ao acaso um carro do estoque dessa revendedora:
a) Qual a probabilidade de que ele seja da marca
? E da marca
? E da marca C?
b) Supondo que ele é da marca A, qual a probabilidade de ser um carro novo? E de ser um carro usado?
a) Qual a probabilidade de que ele seja da marca
b) Supondo que ele é da marca A, qual a probabilidade de ser um carro novo? E de ser um carro usado?
Passo 1
O enunciado fornece a composição do estoque em termos de condição (novo/usado) e, dentro de cada condição, a distribuição por marcas. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de que um carro sorteado ao acaso seja da marca A? E da marca B? E da marca C?
b) Supondo que o carro sorteado é da marca A, qual a probabilidade de que ele seja novo? E de que seja usado?
a) Qual a probabilidade de que um carro sorteado ao acaso seja da marca A? E da marca B? E da marca C?
b) Supondo que o carro sorteado é da marca A, qual a probabilidade de que ele seja novo? E de que seja usado?
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Entre os novos:
Entre os usados:
Passo 2
Para responder (a) vamos usar a regra da probabilidade total: quando um evento (por exemplo, “ser da marca A”) pode ocorrer por caminhos mutuamente exclusivos (por exemplo, sendo o carro novo ou sendo o carro usado), a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho (probabilidade do caminho) vezes a probabilidade condicional do evento nesse caminho.
Fórmula geral (aqui cada termo será explicado):
O que cada símbolo significa:
-
: probabilidade de sortear um carro da marca (queremos isso). -
: probabilidade de sortear um carro novo (dado pelo enunciado). -
: probabilidade de ser da marca dado que é novo (dado). - Termos análogos para “usado”.
Exemplo rápido e simples para fixar: se metade dos carros fosse novo (
) e todo carro novo fosse da marca
(
) enquanto nenhum carro usado fosse
(
), então
.
Passo 3
Calcular
aplicando a fórmula:
Substituindo os números:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Interpretação:
dos carros no estoque são da marca A.
Passo 4
Calcular
do mesmo jeito:
Multiplicando:
Somando:
Interpretação:
dos carros são da marca B.
Passo 5
Calcular
:
Multiplicando:
Somando:
Interpretação:
dos carros são da marca C.
Passo 6
Verificação rápida de consistência: as probabilidades das três marcas devem somar 1 (ou
):
Ótimo — está consistente.
Passo 7
Agora a parte (b). Queremos
e
: ou seja, dado que o carro sorteado é da marca A, qual a probabilidade de ser novo/usar. Para isso usamos o Teorema de Bayes, que reverte condicionais:
Fórmula de Bayes (explicando cada termo):
Aqui:
- O numerador
é a probabilidade conjunta de o carro ser novo e da marca A (o “caminho novo→A”). - O denominador
é a probabilidade total de ser A (já calculada no Passo 3).
Passo 8
Calcular
com os números:
Transformando a fração para termos mais simples:
(dividindo numerador e denominador por
). Em forma decimal:
Arredondando razoavelmente,
, ou seja cerca de
.
Interpretação: entre os carros da marca A, aproximadamente
são novos.
Passo 9
Calcular
. Podemos usar complemento (novo/usar são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço) ou aplicar Bayes diretamente. Usando complemento:
Em decimal:
ou seja cerca de
.
Verificação via Bayes direto:
que coincide com o complemento — tudo certo.
Passo 10
Resumo final conciso e incentivo: fizemos a conta usando a regra da probabilidade total (para achar marginais das marcas) e o Teorema de Bayes (para reverter a condição e achar a probabilidade de ser novo dado que é A). Você já pode aplicar o mesmo procedimento com qualquer combinação parecida — continue praticando que pega o jeito rápido. Força aí, você vai mandar bem na prova!