1. Em laboratórios, foi observado o seguinte. Entre os ratinhos tendo o anticorpo do tipo \mathrm{A}, 2 / 5 também têm anticorpo do tipo B . Por outro lado, Entre os ratinhos que não têm o anticorpo do tipo A, 4 / 5 têm anticorpo do tipo B. Adicionalmente, sabe-se que a metade da população destes ratinhos tem o anticorpo do tipo A. (a) Entre os ratinhos com anticorpo A, qual é a proporção daqueles com anticorpo A? (b) Qual é a proporção dos ratinhos que não têm nenhum destes anticorpos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas. Informações dadas:
  • A metade da população tem o anticorpo do tipo A: P(A)=\tfrac{1}{2}.
  • Entre os ratinhos que têm o anticorpo A, 2/5 também têm o anticorpo B: P(B\mid A)=\tfrac{2}{5}.
  • Entre os ratinhos que não têm o anticorpo A, 4/5 têm o anticorpo B: P(B\mid A^{c})=\tfrac{4}{5}.
Perguntas do enunciado:
(a) Entre os ratinhos com anticorpo B, qual é a proporção daqueles com anticorpo A? (interpreto que a pergunta quer P(A\mid B)).
(b) Qual é a proporção dos ratinhos que não têm nenhum destes anticorpos? (ou seja, P(A^{c}\cap B^{c})).

Passo 2

Primeiro, vou explicar o conceito que vamos usar: probabilidade condicional. A probabilidade condicional P(B\mid A) é a probabilidade de o evento B ocorrer quando sabemos que A ocorreu. Por definição
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Isso pode ser rearranjado para obter a probabilidade conjunta
P(A\cap B)=P(B\mid A)\,P(A).
Intuição: se entre quem tem A uma fração P(B\mid A) também tem B, então a fração total da população que tem ambos é essa fração multiplicada pela fração que tem A.

Passo 3

Usando a fórmula da probabilidade conjunta, calculo P(A\cap B):
P(A\cap B)=P(B\mid A)\,P(A)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{5}.
Explicação numérica: metade da população tem A; entre esses metade, 2/5 têm também B; então \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{1}{5} da população tem ambos.

Passo 4

Agora preciso da probabilidade total de ter B, P(B). Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz que, ao particionar o espaço entre A e A^{c},
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c}).
Substituindo os valores:
P(B)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.

Passo 5

Para responder (a) queremos P(A\mid B). Pela definição de probabilidade condicional,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Já temos P(A\cap B)=\tfrac{1}{5} e P(B)=\tfrac{3}{5}. Então
P(A\mid B)=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{3}{5}}=\frac{1}{3}.
Interpretação: entre os ratinhos que têm B, 1 em cada 3 tem também A.

Passo 6

Para responder (b) queremos a proporção que não tem nem A nem B, isto é P(A^{c}\cap B^{c}). Posso obter isso de duas maneiras equivalentes; uso a forma direta usando a informação sobre quem não tem A:
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\cdot P(B^{c}\mid A^{c}).
Sabemos P(A^{c})=1-P(A)=\tfrac{1}{2} e P(B^{c}\mid A^{c})=1-P(B\mid A^{c})=1-\tfrac{4}{5}=\tfrac{1}{5}. Assim
P(A^{c}\cap B^{c})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10}.
(verificação alternativa: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{9}{10}, logo complemento 1-\tfrac{9}{10}=\tfrac{1}{10}, bate com o cálculo direto).

Passo 7

Cheque rápido de consistência (opcional, mas útil para confiar nos números): podemos listar as quatro partes da partição
\begin{aligned} P(A\cap B)&=\tfrac{1}{5},\\\ P(A\cap B^{c})&=P(A)-P(A\cap B)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10},\\\ P(A^{c}\cap B)&=P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{10},\\\ P(A^{c}\cap B^{c})&=\tfrac{1}{10}. \end{aligned}
Somando: \tfrac{2}{10}+\tfrac{3}{10}+\tfrac{4}{10}+\tfrac{1}{10}=1. Tudo consistente.

Resposta

(a) \tfrac{1}{3}
(b) \tfrac{1}{10}

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