- Em laboratórios, foi observado o seguinte. Entre os ratinhos tendo o anticorpo do tipo
também têm anticorpo do tipo B . Por outro lado, Entre os ratinhos que não têm o anticorpo do tipo A,
têm anticorpo do tipo B. Adicionalmente, sabe-se que a metade da população destes ratinhos tem o anticorpo do tipo A. (a) Entre os ratinhos com anticorpo A, qual é a proporção daqueles com anticorpo A? (b) Qual é a proporção dos ratinhos que não têm nenhum destes anticorpos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas. Informações dadas:
- A metade da população tem o anticorpo do tipo A:
. - Entre os ratinhos que têm o anticorpo A,
também têm o anticorpo B: . - Entre os ratinhos que não têm o anticorpo A,
têm o anticorpo B: .
Perguntas do enunciado:
(a) Entre os ratinhos com anticorpo B, qual é a proporção daqueles com anticorpo A? (interpreto que a pergunta quer ).
(b) Qual é a proporção dos ratinhos que não têm nenhum destes anticorpos? (ou seja, ).
(a) Entre os ratinhos com anticorpo B, qual é a proporção daqueles com anticorpo A? (interpreto que a pergunta quer
(b) Qual é a proporção dos ratinhos que não têm nenhum destes anticorpos? (ou seja,
Passo 2
Primeiro, vou explicar o conceito que vamos usar: probabilidade condicional. A probabilidade condicional
é a probabilidade de o evento
ocorrer quando sabemos que
ocorreu. Por definição
Isso pode ser rearranjado para obter a probabilidade conjunta
Intuição: se entre quem tem
uma fração
também tem
, então a fração total da população que tem ambos é essa fração multiplicada pela fração que tem
.
Passo 3
Usando a fórmula da probabilidade conjunta, calculo
:
Explicação numérica: metade da população tem
; entre esses metade,
têm também
; então
da população tem ambos.
Passo 4
Agora preciso da probabilidade total de ter
,
. Usamos o Teorema da Probabilidade Total, que diz que, ao particionar o espaço entre
e
,
Substituindo os valores:
Passo 5
Para responder (a) queremos
. Pela definição de probabilidade condicional,
Já temos
e
. Então
Interpretação: entre os ratinhos que têm
, 1 em cada 3 tem também
.
Passo 6
Para responder (b) queremos a proporção que não tem nem
nem
, isto é
. Posso obter isso de duas maneiras equivalentes; uso a forma direta usando a informação sobre quem não tem
:
Sabemos
e
. Assim
(verificação alternativa:
, logo complemento
, bate com o cálculo direto).
Passo 7
Cheque rápido de consistência (opcional, mas útil para confiar nos números): podemos listar as quatro partes da partição
Somando:
. Tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)