Suponha que
das pessoas de uma certa população possuam glaucoma. Testes para detectar presença de glaucoma são realizados em pacientes que vão ao hospital. Para paciente com glaucoma, a probabilidade do resultado do teste para glaucoma ser positivo é de
; e para pacientes sem glaucoma, a probabilidade do resultado do teste para glaucoma ser positivo é de
. Obtenha a probabilidade de:
(a) um indivíduo ter glaucoma, dado que o mesmo obteve resultado positivo no teste;
(a) um indivíduo ter glaucoma, dado que o mesmo obteve resultado positivo no teste;
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de um indivíduo ter glaucoma dado que o exame deu positivo.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A prevalência de glaucoma na população é
(ou ). - Para quem tem glaucoma, a sensibilidade do teste é
(probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa tem glaucoma). - Para quem não tem glaucoma, a taxa de falso positivo é
(probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa não tem glaucoma).
A pergunta é: qual é?
Passo 2
Vamos definir eventos e relembrar o conceito básico de probabilidade condicional que vamos usar.
- Seja
o evento “a pessoa tem glaucoma”. - Seja
o evento “o teste deu positivo”.
A probabilidade condicional dedado é, por definição,
Isto significa: “a probabilidade de ter glaucoma e testar positivo” dividido pela “probabilidade de testar positivo”. Vou usar isso para obter o resultado.
Passo 3
Agora usamos o Teorema de Bayes (que vem diretamente da definição acima). Ele diz:
E a probabilidade de um teste ser positivo em geral,
, pode ser decomposta em dois casos (tem glaucoma ou não tem):
onde
é o complemento de
(ou seja, “não tem glaucoma”). Vou substituir os números que o enunciado deu.
Passo 4
Substituindo os valores dados:
-
. -
. -
. -
.
Calculemos o numerador:
(Explicando a conta:
, e como temos duas casas decimais no produto
, o resultado é
.)
Calculemos a parte do denominador referente a quem não tem glaucoma:
(Explicando:
; ajustando as casas decimais dá
.)
Agora o denominador total:
Finalmente, a probabilidade pedida:
Arredondando razoavelmente, isso é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 5
Interpretação: mesmo com um teste bastante bom (
sensibilidade), como o glaucoma é relativamente raro (
da população), um teste positivo só aumenta a chance para cerca de
. Em outras palavras, se você ver um resultado positivo, a probabilidade de realmente ter glaucoma é pouco maior que metade — por isso, normalmente recomenda-se confirmar com exames adicionais. Força aí nos estudos — isso de Bayes aparece muito em provas e é super útil na prática clínica!