Suponha que 5 \% das pessoas de uma certa população possuam glaucoma. Testes para detectar presença de glaucoma são realizados em pacientes que vão ao hospital. Para paciente com glaucoma, a probabilidade do resultado do teste para glaucoma ser positivo é de 98 \%; e para pacientes sem glaucoma, a probabilidade do resultado do teste para glaucoma ser positivo é de 4 \%. Obtenha a probabilidade de:
(a) um indivíduo ter glaucoma, dado que o mesmo obteve resultado positivo no teste;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um indivíduo ter glaucoma dado que o exame deu positivo.
Informações fornecidas:
  • A prevalência de glaucoma na população é \,0{,}05 (ou 5\%).
  • Para quem tem glaucoma, a sensibilidade do teste é \,0{,}98 (probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa tem glaucoma).
  • Para quem não tem glaucoma, a taxa de falso positivo é \,0{,}04 (probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa não tem glaucoma).
    A pergunta é: qual é \,P(\text{glaucoma}\mid\text{positivo})?

Passo 2

Vamos definir eventos e relembrar o conceito básico de probabilidade condicional que vamos usar.
  • Seja G o evento “a pessoa tem glaucoma”.
  • Seja + o evento “o teste deu positivo”.
    A probabilidade condicional de G dado + é, por definição,
P(G\mid +)=\frac{P(G\cap +)}{P(+)}.
Isto significa: “a probabilidade de ter glaucoma e testar positivo” dividido pela “probabilidade de testar positivo”. Vou usar isso para obter o resultado.

Passo 3

Agora usamos o Teorema de Bayes (que vem diretamente da definição acima). Ele diz:
P(G\mid +)=\frac{P(+\mid G)\,P(G)}{P(+)}.
E a probabilidade de um teste ser positivo em geral, P(+), pode ser decomposta em dois casos (tem glaucoma ou não tem):
P(+)=P(+\mid G)\,P(G)+P(+\mid G^c)\,P(G^c),
onde G^c é o complemento de G (ou seja, “não tem glaucoma”). Vou substituir os números que o enunciado deu.

Passo 4

Substituindo os valores dados:
  • P(G)=0{,}05.
  • P(+\mid G)=0{,}98.
  • P(+\mid G^c)=0{,}04.
  • P(G^c)=1-P(G)=0{,}95.
Calculemos o numerador:
P(+\mid G)\,P(G)=0{,}98\times0{,}05=0{,}049.
(Explicando a conta: 98\times5=490, e como temos duas casas decimais no produto 0{,}98\cdot0{,}05, o resultado é 0{,}049.)
Calculemos a parte do denominador referente a quem não tem glaucoma:
P(+\mid G^c)\,P(G^c)=0{,}04\times0{,}95=0{,}038.
(Explicando: 4\times95=380; ajustando as casas decimais dá 0{,}038.)
Agora o denominador total:
P(+)=0{,}049+0{,}038=0{,}087.
Finalmente, a probabilidade pedida:
P(G\mid +)=\frac{0{,}049}{0{,}087}\approx0{,}563218\dots
Arredondando razoavelmente, isso é aproximadamente \,0{,}5632, ou seja cerca de 56{,}32\%.

Passo 5

Interpretação: mesmo com um teste bastante bom ( 98\% sensibilidade), como o glaucoma é relativamente raro ( 5\% da população), um teste positivo só aumenta a chance para cerca de 56\%. Em outras palavras, se você ver um resultado positivo, a probabilidade de realmente ter glaucoma é pouco maior que metade — por isso, normalmente recomenda-se confirmar com exames adicionais. Força aí nos estudos — isso de Bayes aparece muito em provas e é super útil na prática clínica!

Resposta

\,P(\text{glaucoma}\mid\text{positivo})\approx0{,}5632\approx56{,}32\%

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