Reverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x \operatorname{sen} y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}x\sin(y^{3})\,dy\,dx.
O objetivo é inverter a ordem de integração e depois calcular o valor numérico da integral resultante. Para isso, vamos identificar a região de integração no plano xy, reescrever a integral trocando as integrais interna e externa, e em seguida executar os cálculos passo a passo.

Passo 2

A região de integração D é dada por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le1\}.
Se invertermos a ordem, para cada y fixo variaremos x de 0 até y, e y varia de 0 até 1. Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}x\sin(y^{3})\,dx\,dy.

Passo 3

No integrando x\sin(y^{3}), o fator \sin(y^{3}) é constante em relação a x. Logo
\int_{0}^{y}x\sin(y^{3})\,dx =\sin(y^{3})\int_{0}^{y}x\,dx =\sin(y^{3})\cdot\frac{y^{2}}{2}.
A integral torna-se
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{2}\,\sin(y^{3})\,dy =\frac12\int_{0}^{1}y^{2}\sin(y^{3})\,dy.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1}y^{2}\sin(y^{3})\,dy, fazemos a substituição
u=y^{3},\quad du=3y^{2}\,dy\quad\Longrightarrow\quad y^{2}\,dy=\frac{du}{3}.
Os limites em u vão de u(0)=0 a u(1)=1. Assim
\int_{0}^{1}y^{2}\sin(y^{3})\,dy =\int_{0}^{1}\sin(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\bigl(1-\cos(1)\bigr).
Multiplicando por \tfrac12 obtemos o valor final da integral:
\frac12\cdot\frac{1}{3}\bigl(1-\cos(1)\bigr) =\frac{1-\cos(1)}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\cos(1)}{6}

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