Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse \iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A} como uma integral iterada.
y=x^{3} ; \quad x=0, \quad y=2

Passo 1

O enunciado pede para descrever a região R limitada pelas curvas
\,y=x^3, \,x=0 e \,y=2
e, em seguida, escrever
\displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,dA
como uma integral iterada. O conteúdo principal é determinar os limites de integração projetando R nos eixos das abscissas e ordenadas.

Passo 2

Para entender R, encontramos onde as curvas se intersectam:
quando x=0 na curva y=x^3, temos o ponto (0,0);
quando y=2 e y=x^3, temos x^3=2, ou seja, x=2^{1/3}, dando o ponto \bigl(2^{1/3},2\bigr).
Logo, R é a região no primeiro quadrante compreendida entre a reta vertical x=0, a reta horizontal y=2 e a curva y=x^3.

Passo 3

Para escrever a integral dupla como iterada, projetamos R no eixo y:
cada valor de y varia de 0 até 2, e para cada y fixo, x vai da reta x=0 até a curva x=y^{1/3}. Portanto,
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{y=0}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{y^{1/3}}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Passo 4

Alternativamente, podemos projetar no eixo x:
cada x varia de 0 até 2^{1/3}, e para cada x fixo, y vai de x^3 até 2. Assim,
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{2^{1/3}}\Bigl(\int_{y=x^3}^{2}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx.

Resposta

\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{y=0}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{y^{1/3}}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy \quad\text{ou}\quad \int_{x=0}^{2^{1/3}}\Bigl(\int_{y=x^3}^{2}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx.

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