Reverta a ordem de integração na integral, onde
é suposta contínua em
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
onde
é contínua em
. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas, o que exige primeiro identificar a região
no plano
descrita pelos limites atuais.
Passo 2
Descrevemos a região
por
As fronteiras são a reta
e a parábola
. Elas se intersectam onde
isto é, nos pontos
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. O menor valor de
ocorre em
, isto é,
. O maior valor de
ocorre no vértice da parábola, em
, onde
Logo
varia de
a
.
Passo 4
Para um dado
em
, as condições em
são
-
, isto é ; -
, isto é As raízes da igualdade são e a região corresponde a
Agora combinamos com
. Observa-se que:
- Se
, então , logo vai de até . - Se
, então , logo vai de até .
Passo 5
Assim, a integral com ordem invertida fica dividida em dois pedaços: