Reverta a ordem de integração na integral, onde f(x, y) é suposta contínua em \mathbb{R}^{2}
\int_{0}^{3} \int_{x}^{4 x-x^{2}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
\int_{0}^{3}\!\int_{y=x}^{y=4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx,
onde f é contínua em \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas, o que exige primeiro identificar a região D no plano xy descrita pelos limites atuais.

Passo 2

Descrevemos a região D por
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;x\le y\le 4x - x^{2}\bigr\}.
As fronteiras são a reta y=x e a parábola y=4x - x^{2}. Elas se intersectam onde
x = 4x - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x(3 - x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=3,
isto é, nos pontos (0,0) e (3,3).

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. O menor valor de y ocorre em (0,0), isto é, y_{\min}=0. O maior valor de y ocorre no vértice da parábola, em x=2, onde
y_{\max}=4\cdot 2 - 2^{2}=4.
Logo y varia de 0 a 4.

Passo 4

Para um dado y em [0,4], as condições em x são
  1. y\ge x, isto é x\le y;
  2. y\le 4x - x^{2}, isto é x^{2} - 4x + y \le 0.As raízes da igualdade x^{2}-4x+y=0 são x = 2 \pm \sqrt{4 - y},e a região corresponde a 2-\sqrt{4-y}\;\le\;x\;\le\;2+\sqrt{4-y}.
Agora combinamos com x\le y. Observa-se que:
  • Se 0\le y\le 3, então y\le 2+\sqrt{4-y}, logo x vai de 2-\sqrt{4-y} até y.
  • Se 3\le y\le 4, então y\ge 2+\sqrt{4-y}, logo x vai de 2-\sqrt{4-y} até 2+\sqrt{4-y}.

Passo 5

Assim, a integral com ordem invertida fica dividida em dois pedaços:
\int_{0}^{3}\!\int_{x}^{4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx = \int_{y=0}^{3}\!\int_{x=\,2-\sqrt{4-y}}^{\,y} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{y=3}^{4}\!\int_{x=\,2-\sqrt{4-y}}^{\,2+\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{0}^{3}\!\int_{x}^{4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{3}\!\int_{2-\sqrt{4-y}}^{\,y} f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{3}^{4}\!\int_{2-\sqrt{4-y}}^{\,2+\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\,dy.

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