2-5 REVIEW: RADIUS OF CONVERGENCE
Determine the radius of convergence. Show the details of your work.
  1. \sum_{m=0}^{\infty}(m+1) m x^{m}
    separador task_2
  2. \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{k^{m}} x^{2 m}

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e quais expressões foram dadas.
  • Pede: determinar o raio de convergência de cada série (apenas o raio).
  • Série 2: \sum_{m=0}^{\infty}(m+1)m x^{m}.
  • Série 3: \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m}}{k^{m}} x^{2m}.
Observação: em (3) assume-se que k\neq0 (caso k=0 os termos para m\ge1 não estariam bem definidos). Vou encontrar o raio de convergência em função de k.

Passo 2

Breve aula rápida sobre o que é “raio de convergência” e os testes usados (sem pânico, é tranquilo).
  • Para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m},
existe um número R\in[0,\infty] tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. Esse R é o raio de convergência.
  • Dois métodos comuns para achar R:
    1. Fórmula geral (Cauchy–Hadamard):
    R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{m\to\infty} |a_m|^{1/m}}.Aqui a_m é o coeficiente (o que multiplica x^m). O \limsup é o limite superior, mas na maioria dos exercícios ele simplifica bem.
    2. Teste da razão (dá sempre certo quando o limite simples existe): calcular L=\lim_{m\to\infty}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right|.Se esse limite existir, então R=\dfrac{1}{L} (interprete 1/0=+\infty e 1/\infty=0). Em termos práticos, ao aplicar a razão aos termos da série com o fator x via o teste de razão, costuma-se chegar a uma condição do tipo |x|<\text{const}.
Vou usar esses conceitos passo a passo nos dois exercícios.

Passo 3

Resolver a série 2: \sum_{m=0}^{\infty}(m+1)m x^{m}.
  • Identifico o coeficiente a_m=(m+1)m.
  • Vou aplicar o teste da razão nos termos absolutos. Considere o termo genérico t_m=a_m x^{m}=(m+1)m x^{m}. Então
\left|\frac{t_{m+1}}{t_m}\right| = \left|\frac{(m+2)(m+1) x^{m+1}}{(m+1)m x^{m}}\right| = \frac{(m+2)(m+1)}{(m+1)m}\,|x| = \frac{m+2}{m}\,|x|.
  • Agora faço o limite quando m\to\infty:
\lim_{m\to\infty}\frac{m+2}{m}\,|x| =\left(\lim_{m\to\infty}\frac{m+2}{m}\right)|x| =1\cdot|x|=|x|.
  • Pelo teste da razão, a série converge absolutamente quando esse limite é <1, ou seja quando |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1.
(Comentário didático rápido: intuitivamente a_m=(m+1)m\sim m^2, e coeficientes que crescem como uma potência m^p não alteram o raio se comparados a 1, pois \lim_{m\to\infty} m^{p/m}=1. Por isso aqui R=1.)

Passo 4

Resolver a série 3: \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m}}{k^{m}} x^{2m}.
  • Observação inicial: cada termo é
t_m=\frac{(-1)^{m}}{k^{m}} x^{2m}.
Posso agrupar potências escrevendo x^{2m}=(x^2)^{m}. Assim
t_m=\left(\frac{-1}{k}\right)^{m}(x^2)^{m}=\left(-\frac{x^2}{k}\right)^{m}.
  • Isso é exatamente uma série geométrica em m com razão
r=-\frac{x^2}{k}.
  • Lembrando que a série geométrica \sum_{m=0}^\infty r^{m} converge se, e somente se, |r|<1. Portanto requeremos
\left|-\frac{x^2}{k}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|x|^{2}}{|k|}<1.
  • Isolando |x|,
|x|^{2}<|k|\quad\Longrightarrow\quad |x|<\sqrt{|k|}.
  • Assim o raio de convergência (valor de R tal que converge para |x|<R) é
R=\sqrt{|k|}.
(Observação: se k>0 então R=\sqrt{k}. Se k<0 a expressão \sqrt{|k|} é a forma correta; se k=0 os termos não estão bem definidos para m\ge1, então assumimos k\neq0.)

Passo 5

Resumo e reforço didático rápido para você lembrar na prova:
  • Para séries do tipo \sum a_m x^m, tente primeiro o teste da razão; ele costuma simplificar bem quando os coeficientes são polinomiais em m.
  • Se a série tem apenas potências pares como \,x^{2m}, mude a variável mentalmente para y=x^2 e veja se fica uma geométrica em y.
  • Sempre verifique se algum parâmetro (aqui k) não anula a expressão ou precisa de cuidado.
Força aí — faz devagar, passo a passo, e revisa esses testes; são seus melhores amigos na hora.

Resposta

Para \sum_{m=0}^{\infty}(m+1)m x^{m}:\\ R=1
Para \sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{m}}{k^{m}} x^{2m}:\\ R=\sqrt{|k|}

Exercícios relacionados