Revisão de Geometria Analítica Os próximo oito exercícios são uma revisão das superfícies quádricas e cônicas da geometria analítica em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Identifique a superfície cuja equação é dada por:
a) z=4-r^2.
b) 2 r^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para identificar superfícies quádricas dadas em coordenadas cilíndricas. Vamos usar que em coordenadas cilíndricas r satisfaz
r^2 = x^2 + y^2
e então converter cada equação para a forma cartesiana (x,y,z), permitindo reconhecer superfícies conhecidas como paraboloides e elipsoides.

Passo 2

Para a) a equação em coordenadas cilíndricas é
z = 4 - r^2
Substituindo r^2 = x^2 + y^2, obtemos
z = 4 - (x^2 + y^2)
Essa é exatamente a forma de um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em (0,0,4).

Passo 3

Para b) a equação em coordenadas cilíndricas é
2,r^2 + z^2 = 1
Usando r^2 = x^2 + y^2, fica
2,(x^2 + y^2) + z^2 = 1
Colocando na forma padrão de elipsoide, escrevemos
x^2 + y^2tfrac12 ;+;z^21 ;=;1,
o que mostra um elipsoide de revolução em torno do eixo z, com semieixos raiztfrac12, raiztfrac12 e 1.

Resposta

a) Paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em (0,0,4).
b) Elipsoide de revolução em torno do eixo z, com semieixos raiztfrac12, raiztfrac12 e 1.

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