Revisão de Geometria Analítica Os próximo oito exercícios são uma revisão das superfícies quádricas e cônicas da geometria analítica em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Identifique a superfície cuja equação é dada por:
a)
.
b)
Identifique a superfície cuja equação é dada por:
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para identificar superfícies quádricas dadas em coordenadas cilíndricas. Vamos usar que em coordenadas cilíndricas
satisfaz
e então converter cada equação para a forma cartesiana
, permitindo reconhecer superfícies conhecidas como paraboloides e elipsoides.
Passo 2
Para a) a equação em coordenadas cilíndricas é
Substituindo
, obtemos
Essa é exatamente a forma de um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em
.
Passo 3
Para b) a equação em coordenadas cilíndricas é
Usando
, fica
Colocando na forma padrão de elipsoide, escrevemos
o que mostra um elipsoide de revolução em torno do eixo
, com semieixos
,
e
.
Resposta
a) Paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em
.
b) Elipsoide de revolução em torno do eixo , com semieixos
,
e
.
b) Elipsoide de revolução em torno do eixo