Revisão de Geometria Analítica Os próximo oito exercícios são uma revisão das superfícies quádricas e cônicas da geometria analítica em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Descreva com palavras a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por:
a)
;
b)
;
c)
Descreva com palavras a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por:
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para descrever, em palavras, as superfícies definidas em coordenadas esféricas pelas equações
,
e
. Lembrando que em coordenadas esféricas temos as relações
onde
é a distância ao vértice (origem),
é o ângulo com o eixo
positivo e
é o ângulo de projeção no plano
medido a partir do eixo
positivo.
Passo 2
Para
:
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
. Manter esse ângulo fixo em
significa que todos os pontos estão sobre um cone reto circular duplo cujo eixo é o eixo
e que forma meia-abertura
. Como
varia de
a
, o cone inclui tanto a “parte de cima” (em torno de
) quanto a “parte de baixo” (em torno de
).
Passo 3
Para
:
é a distância do ponto à origem. Fixar
faz com que todos os pontos estejam equidistantes da origem a
unidades, isto é, descrevem uma esfera de raio
centrada na origem.
Passo 4
Para
:
é o ângulo que a projeção do vetor posição no plano
faz com o eixo
. Colocar
obriga
e
, logo
e
. Isso define o semiplano vertical contido no plano
e voltado para o lado positivo de
, variando livremente em
e
.
Resposta
a) Um cone de meia-abertura
em torno do eixo
.
b) Uma esfera de raio centrada na origem.
c) O semiplano , voltado para
.
b) Uma esfera de raio
c) O semiplano