Revisão de Geometria Analítica Os próximo oito exercícios são uma revisão das superfícies quádricas e cônicas da geometria analítica em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Descreva com palavras a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada por:
a) phi=pi3;
b) rho=3;
c) theta=pi2

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em palavras, as superfícies definidas em coordenadas esféricas pelas equações phi=pi3, rho=3 e theta=pi2. Lembrando que em coordenadas esféricas temos as relações
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
onde rho>=0 é a distância ao vértice (origem), phiin[0,pi] é o ângulo com o eixo z positivo e thetain[0,2pi) é o ângulo de projeção no plano xy medido a partir do eixo x positivo.

Passo 2

Para phi=pi3:
phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. Manter esse ângulo fixo em pi3 significa que todos os pontos estão sobre um cone reto circular duplo cujo eixo é o eixo z e que forma meia-abertura pi3. Como phi varia de 0 a pi, o cone inclui tanto a “parte de cima” (em torno de z>0) quanto a “parte de baixo” (em torno de z<0).

Passo 3

Para rho=3:
rho é a distância do ponto à origem. Fixar rho=3 faz com que todos os pontos estejam equidistantes da origem a 3 unidades, isto é, descrevem uma esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 4

Para theta=pi2:
theta é o ângulo que a projeção do vetor posição no plano xy faz com o eixo x. Colocar theta=pi2 obriga costheta=0 e sintheta=1, logo x=0 e y=rhosinphi. Isso define o semiplano vertical contido no plano x=0 e voltado para o lado positivo de y, variando livremente em rho e phi.

Resposta

a) Um cone de meia-abertura tfracpi3 em torno do eixo z.
b) Uma esfera de raio 3 centrada na origem.
c) O semiplano x=0, voltado para y>0.

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