Revisão de Geometria Analítica Os próximo oito exercícios são uma revisão das superfícies quádricas e cônicas da geometria analítica em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Identifique a superfície cuja equação é dada por rho=sen phi cdot sen theta

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada em coordenadas esféricas por
rho = sinphi;sintheta
O que vamos precisar: as fórmulas de conversão esféricas tocartesianas e completar quadrado para reconhecer a superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rho,sinphicostheta, y = rho,sinphisintheta, z = rho,cosphi
Daí
sinphi,sintheta = dfracyrho

Passo 3

Substituindo em rho = sinphi,sintheta obtém-se
rho = yrho Longrightarrow rho^2 = y
Como rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, segue
x^2 + y^2 + z^2 = y

Passo 4

Reescrevendo x^2 + y^2 + z^2 = y:
x^2 + z^2 + y^2 - y = 0 Longrightarrow x^2 + z^2 + l(y - tfrac12r)^2 - tfrac14 = 0
ou seja
x^2 + z^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac14

Passo 5

Isso mostra que a superfície é uma esfera de centro (0,tfrac12,0) e raio tfrac12.

Resposta

A superfície é uma esfera de centro (0,tfrac12,0) e raio tfrac12.

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