Se \rho_{v}=5 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} para 0<\rho<1 \mathrm{~mm} e não há outras cargas presentes, determine \mathbf{D} : (a) para \rho<1 \mathrm{~mm}; (b) e para \rho>1 \mathrm{~mm}. (c) Que densidade linear de carga \rho_{L} em \rho=0 daria o mesmo resultado do que o item (b)?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que foi dado e as perguntas):
  • Dado: a densidade volumétrica de carga é \rho_{v}=5\\ \text{nC}/\text{m}^{3} para 0<\rho<1\\ \text{mm} e não há outras cargas presentes.
    Observação: vou trabalhar em unidades SI; logo \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^{3} e vou definir \rho_{0}=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Pedidos:
    (a) Determinar \mathbf{D} para 0<\rho<1\\ \text{mm}.
    (b) Determinar \mathbf{D} para \rho>1\\ \text{mm}.
    (c) Encontrar a densidade linear de carga \rho_{L} (ou \lambda) concentrada em \rho=0 que produzisse o mesmo \mathbf{D} do item (b).

Passo 2

Princípio físico e escolha da superfície de Gauss (a ferramenta que vamos usar).
  • Para campos eletrostáticos em meios lineares homogêneos a relação de Gauss para o deslocamento elétrico é
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, encerrada}},
onde Q_{\text{livre, encerrada}} é a carga livre total dentro da superfície fechada \mathcal{S}. Aqui todas as cargas dadas são livres.
  • Simetria: a distribuição é coaxial (dependência só do raio \rho e uniforme em \varphi e z). Por simetria \mathbf{D} será radial e de módulo que depende só de \rho: \mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Escolha do cilindro de Gauss: use um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. A superfície lateral tem área 2\pi \rho L e as tampas não contribuem (pois \mathbf{D} é perpendicular às tampas). Assim a integral de superfície reduz-se a D_{\rho}(\rho)\cdot 2\pi \rho L.

Passo 3

Cálculo da carga encerrada para 0<\rho<\rho_{0}.
  • A carga encerrada é a integral da densidade volumétrica sobre o volume do cilindro de raio \rho e comprimento L. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=\rho' d\rho' d\varphi dz. Assim
Q_{\text{enc}}(\rho)=\int_{z=0}^{L}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho'=0}^{\rho}\rho_{v}\,\rho' d\rho' d\varphi dz.
  • Executando as integrais (explico passo a passo):
    • integral em \varphi dá um fator 2\pi,
    • integral em z L,
    • integral em \rho' é \int_{0}^{\rho}\rho' d\rho'=\dfrac{\rho^{2}}{2}.
      Portanto
Q_{\text{enc}}(\rho)=\rho_{v}\cdot 2\pi\cdot L\cdot \frac{\rho^{2}}{2}=\pi L \rho_{v}\rho^{2}.
  • Agora aplicando Gauss:
D_{\rho}(\rho)\; (2\pi \rho L)=Q_{\text{enc}}(\rho)=\pi L \rho_{v}\rho^{2}.
Isolando D_{\rho}:
D_{\rho}(\rho)=\frac{\pi L \rho_{v}\rho^{2}}{2\pi \rho L}=\frac{\rho_{v}\rho}{2}.
  • Em forma vetorial (direção radial):
\mathbf{D}(\rho)=\frac{\rho_{v}\,\rho}{2}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\qquad(0<\rho<\rho_{0}).
  • Substituindo o valor numérico \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^{3}:
\mathbf{D}(\rho)=\left(2{,}5\times10^{-9}\,\rho\right)\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{(unidades: C/m}^{2}\text{), com }\rho\text{ em m.}

Passo 4

Cálculo para \rho>\rho_{0}.
  • Para \rho>\rho_{0} a carga encerrada é a carga total contida no cilindro de raio \rho_{0} (pois não há carga fora de \rho_{0}). Assim tomando \rho>\rho_{0} temos
Q_{\text{enc}}(\rho)=Q_{\text{total}}=\pi L \rho_{v}\rho_{0}^{2}.
  • Aplicando Gauss sobre um cilindro de raio \rho e comprimento L:
D_{\rho}(\rho)\; (2\pi \rho L)=\pi L \rho_{v}\rho_{0}^{2}.
Isolando D_{\rho}:
D_{\rho}(\rho)=\frac{\pi L \rho_{v}\rho_{0}^{2}}{2\pi \rho L}=\frac{\rho_{v}\rho_{0}^{2}}{2\rho}.
  • Em forma vetorial:
\mathbf{D}(\rho)=\frac{\rho_{v}\rho_{0}^{2}}{2\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\qquad(\rho>\rho_{0}).
  • Substituindo numericamente \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^{3} e \rho_{0}=1\times10^{-3}\\ \text{m} (logo \rho_{0}^{2}=1\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}):
\mathbf{D}(\rho)=\frac{5\times10^{-9}\cdot 1\times10^{-6}}{2\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}} =\frac{2{,}5\times10^{-15}}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad\text{(C/m}^{2}\text{), com }\rho\text{ em m.}
  • Observação útil (checagem): avaliando a expressão de dentro e de fora no ponto \rho=\rho_{0} ambas dão o mesmo valor, logo \mathbf{D} é contínuo em \rho=\rho_{0} (não há superfície de carga localizada ali).

Passo 5

Item (c): densidade linear de carga \rho_{L} (ou \lambda) em \rho=0 que reproduz o mesmo \mathbf{D} do item (b).
  • O campo \mathbf{D} gerado por uma linha de carga linear \lambda ao longo do eixo tem módulo
D_{\rho}(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi \rho}.
Queremos que isso seja igual à expressão do item (b),
\frac{\lambda}{2\pi \rho}=\frac{\rho_{v}\rho_{0}^{2}}{2\rho}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pi \rho_{v}\rho_{0}^{2}.
  • Substituindo números:
\lambda=\pi\cdot 5\times10^{-9}\cdot(1\times10^{-3})^{2} =\pi\cdot 5\times10^{-15}=5\pi\times10^{-15}\\ \text{C/m}.
  • Aproximação numérica:
\lambda\approx 1{,}57\times10^{-14}\\ \text{C/m}.
Isso significa que uma linha com essa densidade linear de carga no eixo produziria, para \rho>\rho_{0}, exatamente o mesmo \mathbf{D} obtido no item (b).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\frac{\rho_{v}\,\rho}{2}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\left(2{,}5\times10^{-9}\,\rho\right)\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad(0<\rho<1\\ \text{mm})
(b) \displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\frac{\rho_{v}\rho_{0}^{2}}{2\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}=\frac{2{,}5\times10^{-15}}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad(\rho>1\\ \text{mm})
(c) \displaystyle \rho_{L}=\lambda=\pi\,\rho_{v}\rho_{0}^{2}=5\pi\times10^{-15}\\ \text{C/m}\approx 1{,}57\times10^{-14}\\ \text{C/m}

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