Se
para
e não há outras cargas presentes, determine
: (a) para
; (b) e para
. (c) Que densidade linear de carga
em
daria o mesmo resultado do que o item (b)?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que foi dado e as perguntas):
- Dado: a densidade volumétrica de carga é
para e não há outras cargas presentes.
Observação: vou trabalhar em unidades SI; logoe vou definir . - Pedidos:
(a) Determinarpara .
(b) Determinarpara .
(c) Encontrar a densidade linear de carga(ou ) concentrada em que produzisse o mesmo do item (b).
Passo 2
Princípio físico e escolha da superfície de Gauss (a ferramenta que vamos usar).
- Para campos eletrostáticos em meios lineares homogêneos a relação de Gauss para o deslocamento elétrico é
onde
é a carga livre total dentro da superfície fechada
. Aqui todas as cargas dadas são livres.
- Simetria: a distribuição é coaxial (dependência só do raio
e uniforme em e ). Por simetria será radial e de módulo que depende só de : . - Escolha do cilindro de Gauss: use um cilindro coaxial de raio
e comprimento . A superfície lateral tem área e as tampas não contribuem (pois é perpendicular às tampas). Assim a integral de superfície reduz-se a .
Passo 3
Cálculo da carga encerrada para
.
- A carga encerrada é a integral da densidade volumétrica sobre o volume do cilindro de raio
e comprimento . Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é . Assim
- Executando as integrais (explico passo a passo):
- integral em
dá um fator , - integral em
dá , - integral em
é .
Portanto
- integral em
- Agora aplicando Gauss:
Isolando
:
- Em forma vetorial (direção radial):
- Substituindo o valor numérico
:
Passo 4
Cálculo para
.
- Para
a carga encerrada é a carga total contida no cilindro de raio (pois não há carga fora de ). Assim tomando temos
- Aplicando Gauss sobre um cilindro de raio
e comprimento :
Isolando
:
- Em forma vetorial:
- Substituindo numericamente
e (logo ):
- Observação útil (checagem): avaliando a expressão de dentro e de fora no ponto
ambas dão o mesmo valor, logo é contínuo em (não há superfície de carga localizada ali).
Passo 5
Item (c): densidade linear de carga
(ou
) em
que reproduz o mesmo
do item (b).
- O campo
gerado por uma linha de carga linear ao longo do eixo tem módulo
Queremos que isso seja igual à expressão do item (b),
- Substituindo números:
- Aproximação numérica:
Isso significa que uma linha com essa densidade linear de carga no eixo produziria, para
, exatamente o mesmo
obtido no item (b).
Resposta
(a)
(b)
(c)