Um rio de largura 1 km tem uma correnteza com velocidade de magnitude
. Um homem pretende atravessar o rio de barco, remando com velocidade constante de magnitude
, em relação às águas. Se o homem quiser chegar a um ponto diametralmente oposto na outra margem do rio, remando de forma atingi-lo diretamente, qual o tempo necessário para a travessia medido em minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor claro:
- Largura do rio:
. - Velocidade da correnteza (da água, em relação à margem):
. - Velocidade do homem em relação às águas (remando, módulo constante):
. - O homem quer chegar ao ponto diametralmente oposto na outra margem; ou seja, a sua velocidade resultante em relação à margem deve ter componente paralela à corrente igual a zero (nenhum deslocamento ao longo do rio).
- Pergunta: qual o tempo necessário para a travessia, medido em minutos?
Passo 2
Vamos modelar as velocidades como vetores e escolher um sistema de eixos simples:
- Eixo
: direção da corrente (positiva no sentido da corrente). - Eixo
: direção perpendicular às margens (para atravessar), positiva rumo à outra margem.
Três vetores importantes:
- Velocidade da correnteza (vetor da água em relação à margem):
. - Velocidade do barco em relação à água (o que o homem produz remando):
com módulo e direção que podemos escolher apontando um ângulo acima da perpendicular (isto é, apontando um pouco contra a corrente). - Velocidade do barco em relação à margem (resultado):
.
Para chegar exatamente ao ponto diametralmente oposto queremos que a componente
da velocidade resultante seja zero. Isso garante nenhum desvio ao longo do rio.
Passo 3
Escrever componentes da velocidade do homem (em relação à água) em função do ângulo
:
- Componente ao longo de
: . (Negativa porque ele aponta contra a corrente.) - Componente ao longo de
: .
A condição de não desviar (componente
resultante nula) é
Substituindo,
Logo
Explicação didática: essa equação diz que a projeção horizontal (no eixo da corrente) da velocidade com que ele rema deve exatamente cancelar a velocidade da corrente; então ele precisa apontar um pouco para cima e para trás. Como
, essa
é menor que 1 e existe um ângulo adequado.
Passo 4
A componente útil para atravessar (velocidade efetiva na direção perpendicular à margem, que determina o tempo) é a componente
da velocidade resultante. Como a corrente não tem componente
, essa componente é simplesmente
Usando a identidade trigonométrica
e a expressão de
obtemos
Explicação didática: em vez de encontrar
explicitamente, é mais direto usar a relação entre seno e cosseno para achar a componente perpendicular. Em prova isso economiza trabalho algébrico.
Passo 5
Substituir os valores numéricos para calcular
:
Comentário motivacional: percebeu como os números ficaram bonitos? Isso facilita muito na hora da prova — sempre calcule quadrados simples primeiro.
Passo 6
Agora o tempo de travessia (tempo para percorrer a largura
à velocidade perpendicular
) em horas é
Converter para minutos:
.