Um rio de largura 1 km tem uma correnteza com velocidade de magnitude V_{r}=1,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Um homem pretende atravessar o rio de barco, remando com velocidade constante de magnitude V_{h}=2,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, em relação às águas. Se o homem quiser chegar a um ponto diametralmente oposto na outra margem do rio, remando de forma atingi-lo diretamente, qual o tempo necessário para a travessia medido em minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor claro:
  • Largura do rio: 1\\ \mathrm{km}.
  • Velocidade da correnteza (da água, em relação à margem): V_{r}=1,5\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do homem em relação às águas (remando, módulo constante): V_{h}=2,5\\ \mathrm{km/h}.
  • O homem quer chegar ao ponto diametralmente oposto na outra margem; ou seja, a sua velocidade resultante em relação à margem deve ter componente paralela à corrente igual a zero (nenhum deslocamento ao longo do rio).
  • Pergunta: qual o tempo necessário para a travessia, medido em minutos?

Passo 2

Vamos modelar as velocidades como vetores e escolher um sistema de eixos simples:
  • Eixo x: direção da corrente (positiva no sentido da corrente).
  • Eixo y: direção perpendicular às margens (para atravessar), positiva rumo à outra margem.
Três vetores importantes:
  • Velocidade da correnteza (vetor da água em relação à margem): \vec{V}_{\text{água}}=(V_{r},0)á.
  • Velocidade do barco em relação à água (o que o homem produz remando): \vec{V}_{h} com módulo V_{h} e direção que podemos escolher apontando um ângulo \theta acima da perpendicular (isto é, apontando um pouco contra a corrente).
  • Velocidade do barco em relação à margem (resultado): \vec{V}_{\text{resultante}}=\vec{V}_{\text{água}}+\vec{V}_{h}á.
Para chegar exatamente ao ponto diametralmente oposto queremos que a componente x da velocidade resultante seja zero. Isso garante nenhum desvio ao longo do rio.

Passo 3

Escrever componentes da velocidade do homem (em relação à água) em função do ângulo \theta:
  • Componente ao longo de x: V_{h,x} = -V_{h}\sin\theta. (Negativa porque ele aponta contra a corrente.)
  • Componente ao longo de y: V_{h,y} = V_{h}\cos\theta.
A condição de não desviar (componente x resultante nula) é
V_{h,x} + V_{r} = 0.
Substituindo,
- V_{h}\sin\theta + V_{r} = 0.
Logo
\sin\theta = \frac{V_{r}}{V_{h}}.
Explicação didática: essa equação diz que a projeção horizontal (no eixo da corrente) da velocidade com que ele rema deve exatamente cancelar a velocidade da corrente; então ele precisa apontar um pouco para cima e para trás. Como V_{r}<V_{h}, essa \sin\theta é menor que 1 e existe um ângulo adequado.

Passo 4

A componente útil para atravessar (velocidade efetiva na direção perpendicular à margem, que determina o tempo) é a componente y da velocidade resultante. Como a corrente não tem componente y, essa componente é simplesmente
V_{\perp}=V_{h,y}=V_{h}\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta} e a expressão de \sin\theta obtemos
V_{\perp}=V_{h}\sqrt{1-\left(\frac{V_{r}}{V_{h}}\right)^{2}} =\sqrt{V_{h}^{2}-V_{r}^{2}}.
Explicação didática: em vez de encontrar \theta explicitamente, é mais direto usar a relação entre seno e cosseno para achar a componente perpendicular. Em prova isso economiza trabalho algébrico.

Passo 5

Substituir os valores numéricos para calcular V_{\perp}:
V_{h}^{2}=(2,5)^{2}=6,25, \qquad V_{r}^{2}=(1,5)^{2}=2,25.
V_{\perp}=\sqrt{6,25-2,25}=\sqrt{4,00}=2,0\\ \mathrm{km/h}.
Comentário motivacional: percebeu como os números ficaram bonitos? Isso facilita muito na hora da prova — sempre calcule quadrados simples primeiro.

Passo 6

Agora o tempo de travessia (tempo para percorrer a largura 1\\ \mathrm{km} à velocidade perpendicular V_{\perp}) em horas é
t_{\text{horas}}=\frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}=\frac{1}{V_{\perp}}=\frac{1}{2,0}=0,5\\ \text{h}.â
Converter para minutos: 0,5\\ \text{h}\times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}}=30\\ \text{min}.

Resposta

30\\ \text{minutos}

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