Nos itens abaixo calcule a integral de linha sobre a curva dada:
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ; \vec{F}(x, y)=(x-y) \vec{i}+(x+y) \vec{j}; C é a circunferência x^{2}+y^{2}=4 a partir do ponto (2,0) no sentido anti-horário.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y) = (x-y)\,\vec{i} + (x+y)\,\vec{j}. Ou seja, escrevendo componentes escalarmente, P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y.
  • Curva C: circunferência dada por x^{2}+y^{2}=4. Isso é um círculo de raio 2 centrado na origem.
  • Orientação de C: a partir do ponto (2,0) no sentido anti-horário. Esse é o sentido padrão positivo (orientação direta).
  • O que é pedido: calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Vou explicar as opções de método e escolher uma. Opções naturais:
  • Usar o Teorema de Green (converte a integral de contorno fechada numa integral dupla sobre a região interior). É muito eficiente quando C é uma curva fechada simples e o integrando tem derivadas parciais simples.
  • Parametrizar a circunferência e calcular \int_{0}^{2\pi} \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt. Também é direto aqui porque a parametrização do círculo é simples.
Como a curva é fechada, simples e orientada positivamente, o Teorema de Green é o caminho mais curto e elegante. Para reforçar a compreensão, depois farei também a solução por parametrização (é um ótimo exercício de verificação).

Passo 3

Enunciar o Teorema de Green e aplicar ao nosso caso.
O Teorema de Green diz que, para uma curva C fechada, simples e positivamente orientada que é fronteira de uma região D,
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo vetorial \vec{F}=P\,\vec{i}+Q\,\vec{j}. No nosso problema, P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y. A região D é o disco interior ao círculo de raio 2.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=x+y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=1.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=x-y,
\frac{\partial P}{\partial y}=-1.
  • Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Isso significa que dentro do disco a função a ser integrada na integral dupla é a constante 2.

Passo 5

Calcular a integral dupla sobre o disco de raio 2.
A integral fica
\iint_{D} 2\,dA = 2\iint_{D} dA = 2\cdot (\text{área do disco de raio }2).á
A área de um disco de raio r é \pi r^{2}. Aqui r=2, então a área é \pi\cdot 2^{2}=\pi\cdot 4=4\pi. Logo
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot 4\pi = 8\pi.

Passo 6

Verificação pela parametrização da circunferência (checar e reforçar o entendimento).
Parametrização natural do círculo de raio 2, começando em (2,0) e no sentido anti-horário:
\vec{r}(t) = (2\cos t,\,2\sin t),\qquad t\in[0,2\pi].
Então
\vec{r}\,'(t)=(-2\sin t,\,2\cos t).
Avaliar \vec{F} ao longo da curva:
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,
P(x,y)=x-y=2(\cos t-\sin t),
Q(x,y)=x+y=2(\cos t+\sin t).
O produto escalar é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) = P\,\frac{dx}{dt} + Q\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{dx}{dt}=-2\sin t e \dfrac{dy}{dt}=2\cos t. Substituindo:
\begin{aligned} \vec{F}\cdot\vec{r}\,'(t) &= 2(\cos t-\sin t)\cdot(-2\sin t) + 2(\cos t+\sin t)\cdot(2\cos t)\\[4pt] &= -4(\cos t-\sin t)\sin t + 4(\cos t+\sin t)\cos t\\[4pt] &= -4\cos t\sin t + 4\sin^{2}t + 4\cos^{2}t + 4\sin t\cos t\\[4pt] &= 4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\\[4pt] &= 4\cdot 1 = 4, \end{aligned}
pois \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 para todo t.
Assim a integral de linha por parametrização é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} 4\,dt = 4\cdot (2\pi) = 8\pi.]

Passo 7

Resumo didático e incentivo: pelo Teorema de Green a integral reduziu-se a integrar a constante 2 sobre o disco de área 4\pi, e pela parametrização direta obteve-se integrando uma função constante 4 ao longo de t. As duas abordagens concordam e levam ao mesmo resultado — isso é ótimo porque reforça que a técnica escolhida está correta. Mandou bem procurando verificar de duas formas!

Resposta

8\pi

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