Nos itens abaixo calcule a integral de linha sobre a curva dada:
; C é a circunferência
a partir do ponto
no sentido anti-horário.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo vetorial:
. Ou seja, escrevendo componentes escalarmente, e . - Curva
: circunferência dada por . Isso é um círculo de raio centrado na origem. - Orientação de
: a partir do ponto no sentido anti-horário. Esse é o sentido padrão positivo (orientação direta). - O que é pedido: calcular a integral de linha
Passo 2
Vou explicar as opções de método e escolher uma. Opções naturais:
- Usar o Teorema de Green (converte a integral de contorno fechada numa integral dupla sobre a região interior). É muito eficiente quando
é uma curva fechada simples e o integrando tem derivadas parciais simples. - Parametrizar a circunferência e calcular
. Também é direto aqui porque a parametrização do círculo é simples.
Como a curva é fechada, simples e orientada positivamente, o Teorema de Green é o caminho mais curto e elegante. Para reforçar a compreensão, depois farei também a solução por parametrização (é um ótimo exercício de verificação).
Passo 3
Enunciar o Teorema de Green e aplicar ao nosso caso.
O Teorema de Green diz que, para uma curva
fechada, simples e positivamente orientada que é fronteira de uma região
,
Aqui
e
são as componentes do campo vetorial
. No nosso problema,
e
. A região
é o disco interior ao círculo de raio
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando.
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
- Portanto o integrando é
Isso significa que dentro do disco a função a ser integrada na integral dupla é a constante
.
Passo 5
Calcular a integral dupla sobre o disco de raio
.
A integral fica
A área de um disco de raio
é
. Aqui
, então a área é
. Logo
Passo 6
Verificação pela parametrização da circunferência (checar e reforçar o entendimento).
Parametrização natural do círculo de raio
, começando em
e no sentido anti-horário:
Então
Avaliar
ao longo da curva:
O produto escalar é
Aqui
e
. Substituindo:
pois
para todo
.
Assim a integral de linha por parametrização é
Passo 7
Resumo didático e incentivo: pelo Teorema de Green a integral reduziu-se a integrar a constante
sobre o disco de área
, e pela parametrização direta obteve-se integrando uma função constante
ao longo de
. As duas abordagens concordam e levam ao mesmo resultado — isso é ótimo porque reforça que a técnica escolhida está correta. Mandou bem procurando verificar de duas formas!