Nos itens abaixo calcule a integral de linha sobre a curva dada: \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ; \vec{F}(x, y)=y \vec{i}+x \vec{j} ; C: \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leqslant t \leqslant 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}
para o campo e a curva dados. Dados do problema:
Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}.
Curva C dada por parametrização \vec{r}(t)=\big(t,t^{2}\big), com 0\le t\le 1.
A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 2
Fórmula e ideia básica (aula rápida e intuitiva).
Para uma curva orientada parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, a diferencial de posição é d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt.
A integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C é
\vec{r}(t) é a posição ao longo da curva quando o parâmetro vale t.
\vec{r}'(t) é a velocidade (derivada) — vetor tangente à curva.
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado naquele ponto da curva.
O produto escalar \cdot entre \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) e \vec{r}'(t) dá a contribuição escalar instantânea (por exemplo, trabalho infinitesimal) e integrando obtemos o total.
Passo 3
Calcular \vec{r}'(t).
Dada \vec{r}(t)=\big(t,t^{2}\big), derivando componente a componente:
\vec{r}'(t)=\big(1,\,2t\big).
Isto significa que d\vec{r}=\big(1,2t\big)\,dt.
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva: substituir x=t e y=t^{2} em \vec{F}(x,y).