Nos itens abaixo calcule a integral de linha sobre a curva dada:
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ; \vec{F}(x, y)=y \vec{i}+x \vec{j} ; C: \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}
para o campo e a curva dados. Dados do problema:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}.
  • Curva C dada por parametrização \vec{r}(t)=\big(t,t^{2}\big), com 0\le t\le 1.
    A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Fórmula e ideia básica (aula rápida e intuitiva).
  • Para uma curva orientada parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b, a diferencial de posição é d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt.
  • A integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{r}(t) é a posição ao longo da curva quando o parâmetro vale t.
  • \vec{r}'(t) é a velocidade (derivada) — vetor tangente à curva.
  • \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado naquele ponto da curva.
  • O produto escalar \cdot entre \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) e \vec{r}'(t) dá a contribuição escalar instantânea (por exemplo, trabalho infinitesimal) e integrando obtemos o total.

Passo 3

Calcular \vec{r}'(t).
Dada \vec{r}(t)=\big(t,t^{2}\big), derivando componente a componente:
\vec{r}'(t)=\big(1,\,2t\big).
Isto significa que d\vec{r}=\big(1,2t\big)\,dt.

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: substituir x=t e y=t^{2} em \vec{F}(x,y).
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\big(y,\,x\big)\Big|_{(x,y)=(t,t^{2})}=\big(t^{2},\,t\big).
(Observação: aqui pegamos x=t e y=t^{2} da parametrização fornecida.)

Passo 5

Calcular o produto interno \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}'(t).
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}'(t)=\big(t^{2},\,t\big)\cdot\big(1,\,2t\big) = t^{2}\cdot 1 + t\cdot(2t)=t^{2}+2t^{2}=3t^{2}.

Passo 6

Montar e calcular a integral no intervalo 0\le t\le 1:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1} 3t^{2}\,dt.
Calcular a integral:
\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt=3\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\big[t^{3}\big]_{0}^{1}=1^{3}-0^{3}=1.

Resposta

1

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