Rise of liquid in a capillary tube
. A long vertical tube of very narrow internal diameter
is dipped just below the surface of a liquid of density
, viscosity
, and surface tension
. Assuming that the liquid wets the tube with zero contact angle, derive an expression for the time
taken for the liquid to rise to a height
in the tube. Assume laminar flow and neglect kinetic-energy effects.
Hint: First consider the situation where the liquid has risen to an intermediate height
; at this moment, derive an expression for the mean upward velocity
in terms of
, and
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pedido: determinar o tempo
que o líquido leva para subir até uma altura num tubo capilar fino, supondo escoamento laminar e desprezando efeitos de energia cinética. - Dados (parâmetros): diâmetro interno do tubo
, densidade do líquido , viscosidade dinâmica , tensão superficial , aceleração da gravidade . A molhabilidade é completa (ângulo de contato zero). - Condição inicial implícita: no instante
o líquido começa a entrar no tubo (podemos tomar ). - Observação importante: o enunciado sugere primeiro considerar uma altura intermediária
e obter a velocidade média nessa situação; a partir daí obteremos uma equação para e integraremos para achar quando . - Variáveis que vamos usar: altura instantânea
, velocidade média de subida . A resposta final pedida é em função de .
Passo 2
Pressão capilar e força que puxa o líquido para cima.
- Conceito: a curvatura do menisco cria uma diferença de pressão entre o interior e o exterior do líquido chamada pressão capilar (Lei de Young–Laplace). Para um tubo cilíndrico de raio
e ângulo de contato (molha totalmente), a diferença de pressão fornecida pelo menisco é
- Substituindo
obtemos
- Essa pressão capilar tende a puxar o líquido para cima, mas ela é parcialmente equilibrada pela coluna de líquido, que exerce uma queda de pressão hidrostática
(pressão necessária para suportar coluna de altura ). Assim, a pressão líquida disponível para empurrar o fluido para cima é
- Nota: quando
a pressão líquida é zero; esse é o nível de equilíbrio estático (altura de Jurin)
Passo 3
Modelo de escoamento viscous: lei de Poiseuille e velocidade média.
- Conceito: num tubo cilíndrico com escoamento laminar estacionário, a vazão volumétrica
está relacionada ao gradiente de pressão por (Lei de Hagen–Poiseuille):
onde
é o raio do tubo,
é o comprimento onde a queda de pressão
ocorre, e
é a viscosidade dinâmica. Aqui o comprimento é a altura da coluna
.
- A velocidade média
é dividida pela área da secção transversal , logo
- Substituindo
e :
Passo 4
Expressão explícita para
em termos de
.
- Usando
na fórmula anterior:
- Podemos reorganizar para uma forma mais explícita:
- Interpretação: o primeiro termo decresce como
e domina no início (quando é pequeno); o segundo termo é negativo e independente de , representando a resistência viscosa associada ao crescimento da coluna.
Passo 5
Relacionamento entre
e taxa de subida
e montagem da EDO.
- A cada instante a velocidade média de subida do fluido é justamente a taxa de variação da altura:
- Substituindo a expressão do passo anterior:
- Para simplificar a resolução é conveniente definir constantes auxiliares:
Com isso a EDO fica
(Esta forma mostra claramente as contribuições capilar e gravitacional/viscosa.)
Passo 6
Separação de variáveis e integral para obter
em função de
.
- Separamos as variáveis:
- Multiplicando numerador e denominador por
:
- Vamos integrar ambos os lados do instante inicial
até :
- Para calcular a integral do lado esquerdo fazemos a decomposição
que pode ser verificada por álgebra simples.
- Assim
- Portanto o tempo necessário para atingir
é
- Reescrevendo o logaritmo de forma positiva:
Passo 7
Substituir
e
e expressar o resultado nos parâmetros originais; notar a relação com a altura de equilíbrio.
- Lembrando
e . Observe também que
a altura de equilíbrio estático (Jurin).
- Podemos simplificar a expressão usando
e . Uma forma compacta e clara é
- Substituindo
para eliminar e escrever somente com chegamos a uma forma totalmente explícita:
- Observação física: a fórmula só faz sentido para
; para o tempo diverge (o log cresce), mostrando que a subida assintóticamente se aproxima da altura de equilíbrio.