Rise of liquid in a capillary tube -M. A long vertical tube of very narrow internal diameter d is dipped just below the surface of a liquid of density \rho, viscosity \mu, and surface tension \sigma. Assuming that the liquid wets the tube with zero contact angle, derive an expression for the time t taken for the liquid to rise to a height H in the tube. Assume laminar flow and neglect kinetic-energy effects.
Hint: First consider the situation where the liquid has risen to an intermediate height h; at this moment, derive an expression for the mean upward velocity u_{\mathrm{m}} in terms of \rho, g, \sigma, \mu, h, and d.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: determinar o tempo t que o líquido leva para subir até uma altura H num tubo capilar fino, supondo escoamento laminar e desprezando efeitos de energia cinética.
  • Dados (parâmetros): diâmetro interno do tubo d, densidade do líquido \rho, viscosidade dinâmica \mu, tensão superficial \sigma, aceleração da gravidade g. A molhabilidade é completa (ângulo de contato zero).
  • Condição inicial implícita: no instante t=0 o líquido começa a entrar no tubo (podemos tomar h(0)=0).
  • Observação importante: o enunciado sugere primeiro considerar uma altura intermediária h e obter a velocidade média u_{\mathrm{m}} nessa situação; a partir daí obteremos uma equação para dh/dt e integraremos para achar t quando h=H.
  • Variáveis que vamos usar: altura instantânea h(t), velocidade média de subida u_{\mathrm{m}}(t). A resposta final pedida é t em função de H,d,\rho,\mu,\sigma,g.

Passo 2

Pressão capilar e força que puxa o líquido para cima.
  • Conceito: a curvatura do menisco cria uma diferença de pressão entre o interior e o exterior do líquido chamada pressão capilar (Lei de Young–Laplace). Para um tubo cilíndrico de raio a=d/2 e ângulo de contato \theta=0 (molha totalmente), a diferença de pressão fornecida pelo menisco é
\Delta p_{\text{cap}}=\frac{2\sigma\cos\theta}{a}=\frac{2\sigma}{a}.
  • Substituindo a=d/2 obtemos
\Delta p_{\text{cap}}=\frac{2\sigma}{d/2}=\frac{4\sigma}{d}.
  • Essa pressão capilar tende a puxar o líquido para cima, mas ela é parcialmente equilibrada pela coluna de líquido, que exerce uma queda de pressão hidrostática \rho g h (pressão necessária para suportar coluna de altura h). Assim, a pressão líquida disponível para empurrar o fluido para cima é
\Delta p=\Delta p_{\text{cap}}-\rho g h=\frac{4\sigma}{d}-\rho g h.
  • Nota: quando \rho g h=\frac{4\sigma}{d} a pressão líquida é zero; esse é o nível de equilíbrio estático (altura de Jurin)
H_{\mathrm{eq}}=\frac{4\sigma}{\rho g d}.

Passo 3

Modelo de escoamento viscous: lei de Poiseuille e velocidade média.
  • Conceito: num tubo cilíndrico com escoamento laminar estacionário, a vazão volumétrica Q está relacionada ao gradiente de pressão por (Lei de Hagen–Poiseuille):
Q=\frac{\pi a^4}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L},
onde a é o raio do tubo, L é o comprimento onde a queda de pressão \Delta p ocorre, e \mu é a viscosidade dinâmica. Aqui o comprimento é a altura da coluna h.
  • A velocidade média u_{\mathrm{m}} é Q dividida pela área da secção transversal \pi a^2, logo
u_{\mathrm{m}}=\frac{Q}{\pi a^2}=\frac{a^2}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L}.
  • Substituindo a=d/2 e L=h:
u_{\mathrm{m}}=\frac{(d/2)^2}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{h}=\frac{d^2}{32\mu}\,\frac{\Delta p}{h}.

Passo 4

Expressão explícita para u_{\mathrm{m}} em termos de \rho,g,\sigma,\mu,h,d.
  • Usando \Delta p=\dfrac{4\sigma}{d}-\rho g h na fórmula anterior:
u_{\mathrm{m}}=\frac{d^2}{32\mu}\,\frac{1}{h}\left(\frac{4\sigma}{d}-\rho g h\right).
  • Podemos reorganizar para uma forma mais explícita:
u_{\mathrm{m}}=\frac{d\sigma}{8\mu}\cdot\frac{1}{h}-\frac{d^2\rho g}{32\mu}.
  • Interpretação: o primeiro termo decresce como 1/h e domina no início (quando h é pequeno); o segundo termo é negativo e independente de h, representando a resistência viscosa associada ao crescimento da coluna.

Passo 5

Relacionamento entre u_{\mathrm{m}} e taxa de subida dh/dt e montagem da EDO.
  • A cada instante a velocidade média de subida do fluido é justamente a taxa de variação da altura:
\frac{dh}{dt}=u_{\mathrm{m}}(h).
  • Substituindo a expressão do passo anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{d^2}{32\mu}\,\frac{1}{h}\left(\frac{4\sigma}{d}-\rho g h\right).
  • Para simplificar a resolução é conveniente definir constantes auxiliares:
A=\frac{d\sigma}{8\mu},\qquad B=\frac{d^2\rho g}{32\mu}.
Com isso a EDO fica
\frac{dh}{dt}=\frac{A}{h}-B.
(Esta forma mostra claramente as contribuições capilar e gravitacional/viscosa.)

Passo 6

Separação de variáveis e integral para obter t em função de h.
  • Separamos as variáveis:
\frac{dh}{\dfrac{A}{h}-B}=dt.
  • Multiplicando numerador e denominador por h:
\frac{h\,dh}{A-Bh}=dt.
  • Vamos integrar ambos os lados do instante inicial h(0)=0 até h(t)=H:
\int_{0}^{H}\frac{h\,dh}{A-Bh}=\int_{0}^{t} dt = t.
  • Para calcular a integral do lado esquerdo fazemos a decomposição
\frac{h}{A-Bh}=-\frac{1}{B}+\frac{A}{B}\cdot\frac{1}{A-Bh},
que pode ser verificada por álgebra simples.
  • Assim
\int_{0}^{H}\frac{h\,dh}{A-Bh} =\int_{0}^{H}\left(-\frac{1}{B}+\frac{A}{B}\cdot\frac{1}{A-Bh}\right)dh = -\frac{H}{B}-\frac{A}{B^2}\ln\!\left(\frac{A-BH}{A}\right).
  • Portanto o tempo necessário para atingir h=H é
t=-\frac{H}{B}-\frac{A}{B^2}\ln\!\left(\frac{A-BH}{A}\right).
  • Reescrevendo o logaritmo de forma positiva:
t=\frac{A}{B^2}\ln\!\left(\frac{A}{A-BH}\right)-\frac{H}{B}.

Passo 7

Substituir A e B e expressar o resultado nos parâmetros originais; notar a relação com a altura de equilíbrio.
  • Lembrando A=\dfrac{d\sigma}{8\mu} e B=\dfrac{d^2\rho g}{32\mu}. Observe também que
\frac{A}{B}=\frac{d\sigma/(8\mu)}{d^2\rho g/(32\mu)}=\frac{4\sigma}{\rho g d}=H_{\mathrm{eq}},
a altura de equilíbrio estático (Jurin).
  • Podemos simplificar a expressão usando 1/B=\dfrac{32\mu}{d^2\rho g} e \dfrac{A}{B^2}=H_{\mathrm{eq}}\cdot\dfrac{1}{B}=\dfrac{32\mu H_{\mathrm{eq}}}{d^2\rho g}. Uma forma compacta e clara é
t=\frac{32\mu}{d^2\rho g}\Bigg(H_{\mathrm{eq}}\ln\!\frac{H_{\mathrm{eq}}}{H_{\mathrm{eq}}-H}-H\Bigg).
  • Substituindo H_{\mathrm{eq}}=\dfrac{4\sigma}{\rho g d} para eliminar H_{\mathrm{eq}} e escrever somente com d,\rho,\mu,\sigma,g,H chegamos a uma forma totalmente explícita:
t=\frac{128\mu\sigma}{d^3\rho^2 g^2}\ln\!\left(\frac{4\sigma}{4\sigma-\rho g d H}\right)-\frac{32\mu H}{d^2\rho g}.
  • Observação física: a fórmula só faz sentido para H<H_{\mathrm{eq}}=\dfrac{4\sigma}{\rho g d}; para H\to H_{\mathrm{eq}}^{-} o tempo diverge (o log cresce), mostrando que a subida assintóticamente se aproxima da altura de equilíbrio.

Resposta

t=\frac{128\mu\sigma}{d^3\rho^2 g^2}\,\ln\!\left(\frac{4\sigma}{4\sigma-\rho g d H}\right)-\frac{32\mu H}{d^2\rho g}.

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