(SCHAUM - Pág. 55 - Exer. 18 - Liv. Antigo ou Pág 48 - Exer. 2-22 - Liv. Novo) Um tubo de aço de diâmetro externo igual a 2 in e diâmetro interno 1,75 in está por fora de um cilindro de latão de 1,5 in de diâmetro. Ambos estão ligados às placas rígidas nas extremidades. A temperatura de 80^{\circ} F, as tensões normais são nulas; se eleva a temperatura para 250^{\circ} \mathrm{F}, qual a tensão normal no aço e no latão? Para o latão E=14 \cdot 10^{6} l b / i n^{2}, \alpha_{L}=10,4 \cdot 10^{-6}{ }_{\circ} F^{-1}; para o aço E=30 \cdot 10^{6} l b / i n^{2}, \alpha_{a}=6,5 \cdot 10^{-6}{ }_{\circ} F^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede as tensões normais no aço e no latão quando a temperatura sobe de \,80^\circ F para \,250^\circ F, sabendo que ambos (o tubo de aço e o cilindro de latão) estão ligados a placas rígidas nas extremidades e que, à temperatura inicial \,80^\circ F, as tensões normais são nulas. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro externo do tubo de aço: }2\\ \text{in} \\\ &\text{Diâmetro interno do tubo de aço: }1{,}75\\ \text{in} \\\ &\text{Diâmetro do cilindro de latão: }1{,}5\\ \text{in} \\\ &\text{Módulo de elasticidade do latão: }E_L=14\cdot10^{6}\\ \mathrm{lb/in^2} \\\ &\text{Coeficiente de dilatação do latão: }\alpha_L=10{,}4\cdot10^{-6}\\ ^\circ\!F^{-1} \\\ &\text{Módulo de elasticidade do aço: }E_a=30\cdot10^{6}\\ \mathrm{lb/in^2} \\\ &\text{Coeficiente de dilatação do aço: }\alpha_a=6{,}5\cdot10^{-6}\\ ^\circ\!F^{-1} \\\ &\text{Temperatura inicial: }T_i=80^\circ F \\\ &\text{Temperatura final: }T_f=250^\circ F \end{aligned}âçâçâãóãçããóççãç
O que se pede explicitamente: encontrar a tensão normal (em \mathrm{lb/in^2}) no aço e a tensão normal no latão após o aquecimento.

Passo 2

Conceito físico necessário (aula rápida e prática): quando um corpo é aquecido livremente, ele se expande; a dilatação linear livre de um comprimento L é dada por
\Delta L_{\text{livre}}=\alpha\,\Delta T\,L
onde \alpha é o coeficiente de dilatação (unidade ^\circ\!F^{-1}) e \Delta T=T_f-T_i. A “deformação térmica” (ou “strain térmico”) é
\varepsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T.
Se a peça estiver impedida de se deformar (por placas rígidas que não permitem mudança de comprimento), a deformação total real \varepsilon_{\text{total}} é zero e, portanto, deve aparecer uma deformação mecânica \varepsilon_m que cancele a térmica:
\varepsilon_{\text{total}}=\varepsilon_m+\varepsilon_{\text{th}}=0\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_m=-\alpha\,\Delta T.
Pela lei de Hooke (regime elástico linear), a tensão associada à deformação mecânica é
\sigma=E\,\varepsilon_m=-E\,\alpha\,\Delta T.
Ou seja: se a expansão térmica é impedida, surge uma tensão compressiva de valor \sigma=-E\alpha\Delta T. Note que essa relação vale individualmente para cada material que esteja preso entre as placas rígidas (cada um com seu E e \alpha); por isso não precisamos usar as áreas para obter as tensões — as áreas seriam necessárias apenas se quiséssemos calcular as forças resultantes.

Passo 3

Calcule a variação de temperatura:
\Delta T=T_f-T_i=250-80=170^\circ F.

Passo 4

Tensão no aço: aplicar \sigma_a=-E_a\,\alpha_a\,\Delta T. Substituindo os valores (mostrando as etapas multiplicativas):
\alpha_a\,\Delta T = 6{,}5\times10^{-6}\cdot170 = 6{,}5\cdot170\times10^{-6}=1105\times10^{-6}=0{,}001105.
Agora
\sigma_a = -E_a\cdot( \alpha_a\Delta T ) = -30\times10^{6}\cdot0{,}001105 = -33\,150\\ \mathrm{lb/in^2}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a tensão é compressiva (a peça tenta se expandir, mas é impedida).

Passo 5

Tensão no latão: aplicar \sigma_L=-E_L\,\alpha_L\,\Delta T. Etapas:
\alpha_L\,\Delta T = 10{,}4\times10^{-6}\cdot170 = 10{,}4\cdot170\times10^{-6}=1\,768\times10^{-6}=0{,}001768.
Agora
\sigma_L = -E_L\cdot( \alpha_L\Delta T ) = -14\times10^{6}\cdot0{,}001768 = -24\,752\\ \mathrm{lb/in^2}.
Novamente, sinal negativo = compressão.

Passo 6

Pequeno comentário didático e motivador: repare que, mesmo o aço tendo menor coeficiente de dilatação ( \alpha_a menor), sua tensão ficou maior em magnitude porque o seu módulo E_a é bem maior. Se você na prova fosse solicitado também às forças nas extremidades ou à reação total nas placas, aí sim precisaria usar as áreas (as quais derivam dos diâmetros que o enunciado deu) e somar F_i=\sigma_i A_i.

Resposta

\sigma_{\text{aço}}=-33\,150\\ \mathrm{lb/in^2}ç
\sigma_{\text{latão}}=-24\,752\\ \mathrm{lb/in^2}ã

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