Num futuro hipotético, uma nave espacial parte da Terra com velocidade comparável à da luz. No fundo da nave há uma lâmpada de luz verde (lambda=570 mu m). Dependendo da velocidade da nave, seria possível aos espectadores (na Terra) verem essa luz da cor (a) laranja (lambda=625 mu m) ? E (b) azul (lambda=470 mu m) ? Justifique suas respostas.

Passo 1

Então, vamos falar sobre esse exercício. Temos uma nave espacial que está saindo da Terra com uma velocidade bem próxima à da luz. Dentro da nave, tem uma lâmpada que emite luz verde com comprimento de onda lambda = 570 mu m. A pergunta é: dependendo da velocidade da nave, será que as pessoas na Terra veriam essa luz como laranja (lambda = 625 mu m) ou azul (lambda = 470 mu m)? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o efeito Doppler relativístico, que explica como o movimento de uma fonte de luz afeta a cor que a gente vê.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o efeito Doppler. É um fenômeno que acontece quando a fonte de uma onda (como a luz) está se movendo em relação a um observador. Se a fonte está se afastando, o comprimento de onda aumenta (desvio para o vermelho), e se está se aproximando, o comprimento de onda diminui (desvio para o azul). No nosso caso, como a nave está se movendo afastando da Terra, esperamos um desvio para o vermelho.

Passo 3

Para calcular quanto o comprimento de onda muda, usamos a fórmula do desvio Doppler relativístico:
lambdaobservado = lambdaemitido times raiz1 + vc1 - vc
Aqui, lambdaobservado é o comprimento de onda que a gente vai ver na Terra, lambdaemitido = 570 mu m é o valor dentro da nave, v é a velocidade da nave, e c é a velocidade da luz.

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a parte (a) da pergunta: será que a luz verde poderia aparecer como laranja ( lambda = 625 mu m)? Vamos usar a fórmula para encontrar a velocidade necessária para esse desvio.
Rearranjando a fórmula para encontrar v:
raiz1 + vc1 - vc = lambdaobservadolambdaemitido = 625570 approx 1,0965
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 + vc1 - vc = (1,0965)^2 approx 1,2022
Resolvendo para vc:
1 + vc = 1,2022 times (1 - vc)
1 + vc = 1,2022 - 1,2022 vc
vc + 1,2022 vc = 1,2022 - 1
(1 + 1,2022) vc = 0,2022
2,2022 vc = 0,2022
vc = 0,20222,2022 approx 0,0916
Então, a velocidade v é aproximadamente 9,16% da velocidade da luz.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): será que a luz verde poderia aparecer como azul ( lambda = 470 mu m)? Vamos usar a mesma fórmula, mas agora lambdaobservado = 470 mu m.
raiz1 + vc1 - vc = 470570 approx 0,8246
Elevando ao quadrado:
1 + vc1 - vc = (0,8246)^2 approx 0,6794
Resolvendo para vc:
1 + vc = 0,6794 times (1 - vc)
1 + vc = 0,6794 - 0,6794 vc
vc + 0,6794 vc = 0,6794 - 1
(1 + 0,6794) vc = -0,3206
1,6794 vc = -0,3206
vc = -0,32061,6794 approx -0,1908
O valor negativo indica que a nave precisaria estar se aproximando da Terra. No entanto, como no enunciado a nave está partindo da Terra, esse cenário não é aplicável.

Resposta

(a) Sim, se a velocidade da nave for aproximadamente 9,16% da velocidade da luz, a luz verde emitida ( 570 mu m) seria observada como laranja ( 625 mu m) na Terra.
(b) Não, a luz verde não poderia ser observada como azul no contexto da nave se afastando da Terra, pois isso exigiria que a nave estivesse se aproximando, o que contraria o enunciado.

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